Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
y=sin x, x in[0, pi], y=0 em torno do eixo x

Passo 1

No enunciado, temos a região limitada por y=sin x, y=0 e xin[0,pi], que ao ser girada em torno do eixo x gera um sólido de revolução. O conteúdo aqui é volume por discos, e vamos precisar usar a fórmula de volume V=piintegrala^b [f(x)]^2,dx.

Passo 2

Pelo método dos discos, cada disco perpendicular ao eixo x tem raio r=sin x e espessura dx, de modo que sua área é pi(sin x)^2. Assim, o volume do sólido é dado por:
V=piintegral0^pisin^2 x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pisin^2 x,dx, usamos a identidade trigonométrica sin^2 x=1-cos(2x)2. Logo:
integral0^pisin^2 x,dx=integral0^pi1-cos(2x)2,dx=integral0^pi12,dx-integral0^picos(2x)2,dx
A antiderivada é:
x2-sin(2x)4

Passo 4

Avaliando de 0 a pi: temos [x2-sin(2x)4]0^pi=pi2-0=pi2. Portanto,
integral0^pisin^2 x,dx=pi2

Resposta

pi^22

Exercícios relacionados