Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
y=x^2, x=y^2 em torno do eixo x

Passo 1

Neste exercício temos a região do plano limitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2, girando essa região em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume de revolução usando o método das arruelas.

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos onde as curvas se cruzam. Substituindo y=x^2 em x=y^2 temos
x=(x^2)^2=x^4
que leva à equação x^4-x=0, ou seja x(x^3-1)=0. Logo x=0 ou x=1. Substituindo em y=x^2 obtemos y=0 em x=0 e y=1 em x=1.

Passo 3

Agora, para montar o volume pelo método das arruelas, em cada xin[0,1] a região vai de y=x^2 (menor) até y=raizx (maior). Essas curvas, ao girar em torno do eixo x, geram um disco com raio externo R(x)=raizx e raio interno r(x)=x^2.
O volume é dado por
V=piintegral0^1l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx=piintegral0^1l(x - x^4r),dx

Passo 4

Agora, é só integrar:
integral0^1(x - x^4),dx=(x^22-x^55)|0^1=12-15=310

Resposta

O volume do sólido gerado é 3pi10.

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