Determine o ponto do plano 2 x-y+z=1 que está mais próximo do ponto (4,1,3).

Passo 1

Estamos buscando o ponto do plano
2x - y + z = 1
que minimize a distância até o ponto P(4,1,3). O conteúdo aqui é distância de um ponto a um plano usando projeção ortogonal, e vamos precisar do vetor normal ao plano.

Passo 2

O vetor normal n do plano é dado pelos coeficientes de x,y,z na equação:
n = (2,,-1,,1)
Esse vetor é perpendicular a qualquer direção dentro do plano.

Passo 3

Para usar a fórmula do pé da perpendicular, calculamos o escalar
f(P) = A x0 + B y0 + C z0 - D,
onde A=2, B=-1, C=1, D=1 e P=(x0,y0,z0)=(4,1,3). Substituindo, temos
f(P) = 2cdot4 + (-1)cdot1 + 1cdot3 - 1 = 8 - 1 + 3 - 1 = 9

Passo 4

Também precisamos de |n|^2, que é
|n|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6

Passo 5

A fórmula do pé da perpendicular Q de P sobre o plano é
Q = P - f(P)|n|^2,n
Substituindo os valores:
Q = (4,1,3) - 96(2,-1,1) = (4,1,3) - l(3, -tfrac32, tfrac32r)

Passo 6

Agora basta fazer a subtração coordenada a coordenada:
Q = (4-3,;1+tfrac32,;3-tfrac32) = (1,;tfrac52,;tfrac32)

Resposta

O ponto do plano mais próximo de (4,1,3) é (1,,5/2,,3/2).

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