Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O exercício pede para calcular
onde
é o círculo
, usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Vamos precisar identificar os polos de
e calcular o resíduo no único polo dentro de
.
Passo 2
Pela definição de
, os polos são em
(de ordem 2) e em
,
(simples, vindos de
). A distância de
e
a
é
, então apenas
está dentro de
.
Passo 3
Para um polo de ordem 2 em
, o resíduo é dado por
Derivando,
Substituindo
:
Passo 4
Aplicando o teorema dos resíduos:
Resposta
-\frac{\pi i}{25}\bigl(5\sin1+\cos1\bigr)