Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.

Passo 1

O exercício pede para calcular ointC cos z(z-1)^2(z^2+9),dz onde C é o círculo |z-1|=1, usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Vamos precisar identificar os polos de f(z)=cos z(z-1)^2(z^2+9) e calcular o resíduo no único polo dentro de C.

Passo 2

Pela definição de f(z), os polos são em z=1 (de ordem 2) e em z=3i, z=-3i (simples, vindos de z^2+9=0). A distância de 3i e -3i a 1 é raiz1+9=raiz10>1, então apenas z=1 está dentro de C.

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em z=1, o resíduo é dado por
Res(f,1)=limzto1ddzl[(z-1)^2f(z)r]=limzto1ddzl[cos zz^2+9r]
Derivando,
ddzl[cos zz^2+9r]=-sin z,(z^2+9)-cos z,(2z)(z^2+9)^2
Substituindo z=1:
Res(f,1)=-(10sin1+2cos1)(1+9)^2=-(10sin1+2cos1)100= -5sin1+cos150

Passo 4

Aplicando o teorema dos resíduos:
ointCf(z),dz=2pi isumRes=2pi il(-5sin1+cos150r)=-pi i25l(5sin1+cos1r)

Resposta

-\frac{\pi i}{25}\bigl(5\sin1+\cos1\bigr)

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