Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
x=-2, x=1, y=-12, y=1 é o retângulo definido por

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de contorno
ointC 2z-1z^2(z^3+1),dz
pelo teorema dos resíduos de Cauchy. É conteúdo de análise complexa: vamos precisar identificar os polos da função dentro do retângulo dado, calcular cada resíduo e somá-los.

Passo 2

As singularidades vêm de zeros de z^2(z^3+1). Temos um polo de ordem 2 em z=0 e polos simples em z^3+1=0, isto é zk=e^i(pi+2pi k)/3, para k=0,1,2. Esses valores são
z0=e^ipi/3, z1=e^ipi= -1, z2=e^i5pi/3approx0.5-0.866i
O retângulo engloba pontos com xin[-2,1] e yin[-1/2,1], então dentro ficam z=0, z=-1 e z=e^ipi/3.

Passo 3

Para z=0 (polo de ordem 2) usamos
Calculando
Res(f,0)=ddzl[z^22z-1z^2(z^3+1)r]|z=0 =ddz2z-1z^3+1|z=0
e em ddz2z-1z^3+1=2(z^3+1)-(2z-1)3z^2(z^3+1)^2= rac-4z^3+3z^2+2(z^3+1)^2, z=0. Logo .

Passo 4

Em z=-1 (polo simples) temos
$$\Res(f,-1)=\lim_{z\to-1}(z+1)\frac{2z-1}{z2(z3+1)}
=\frac{2(-1)-1}{(-1)2\cdot3(-1)2}= rac{-3}{3}=-1.$$

Passo 5

Em z=e^ipi/3 também é polo simples, e
Simplificando dá
Res(f,e^ipi/3)=limzto e^ipi/3(z-e^ipi/3)2z-1z^2(z^3+1) =2z-1z^2cdot3z^2|z=e^ipi/3 =2e^ipi/3-13e^i4pi/3

Passo 6

Somamos os resíduos dentro do contorno:
2 + (-1) +l(-tfrac12 - itfracraiz36r)=tfrac12 - itfracraiz36
Pelo teorema dos resíduos,
ointC f(z),dz = 2pi il(tfrac12 - itfracraiz36r)

Resposta

ointC 2z-1z^2(z^3+1),dz = 2pi il(tfrac12 - itfracraiz36r) = pi i + piraiz33

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