Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
y=x^2, y=4 x em torno da linha x=5

Passo 1

Estamos com a região do plano limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x e queremos o volume gerado ao girar essa região em torno da reta x = 5. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução, e vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas por se tratar de rotação em torno de uma linha vertical.

Passo 2

Primeiro achamos onde as curvas se cruzam resolvendo x^2 = 4x, que dá x=0 e x=4. Assim, a região é para x de 0 a 4, e para cada x a ordenada varia de y = x^2 até y = 4x.

Passo 3

Para aplicar o método das cascas cilíndricas, note que cada casca, paralela ao eixo de rotação, tem raio igual à distância de x até 5, ou seja r = 5 - x. A altura da casca é a diferença entre as curvas, isto é 4x - x^2, e a espessura é dx. Logo, o volume é dado por
V = 2pi integral0^4 (5 - x)(4x - x^2),dx

Passo 4

Agora expandimos o integrando: (5 - x)(4x - x^2) = 20x - 9x^2 + x^3. Então integramos termo a termo:
integral0^4 (20x - 9x^2 + x^3),dx = l[10x^2 - 3x^3 + tfracx^44r]0^4 = 160 - 192 + 64 = 32
Multiplicando por 2pi obtemos o volume final.

Resposta

64pi

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