Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
em torno da linha
Passo 1
Estamos com a região do plano limitada pelas curvas
e
e queremos o volume gerado ao girar essa região em torno da reta
. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução, e vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas por se tratar de rotação em torno de uma linha vertical.
Passo 2
Primeiro achamos onde as curvas se cruzam resolvendo
, que dá
e
. Assim, a região é para
de 0 a 4, e para cada
a ordenada varia de
até
.
Passo 3
Para aplicar o método das cascas cilíndricas, note que cada casca, paralela ao eixo de rotação, tem raio igual à distância de
até 5, ou seja
. A altura da casca é a diferença entre as curvas, isto é
, e a espessura é
. Logo, o volume é dado por
Passo 4
Agora expandimos o integrando:
. Então integramos termo a termo:
Multiplicando por
obtemos o volume final.