Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
y=x^2, y=8-x^2 em torno do eixo x

Passo 1

Temos a região no plano limitada por y = x^2 e y = 8 - x^2, que será girada em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos anelares, usando as fórmulas de raio externo e raio interno.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo x^2 = 8 - x^2, o que leva a 2x^2 = 8 e portanto x^2 = 4, ou seja x = -2 e x = 2.

Passo 3

Usando o método dos discos anelares, para cada x entre -2 e 2 temos raio externo R(x) = 8 - x^2 e raio interno r(x) = x^2. Assim o volume é dado por
V = pi integral-2^2 l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx

Passo 4

Calcular o integrando:
R(x)^2 - r(x)^2 = (8 - x^2)^2 - (x^2)^2 = 64 - 16x^2 + x^4 - x^4 = 64 - 16x^2
Então
V = pi integral-2^2 (64 - 16x^2),dx

Passo 5

Avaliar a integral:
integral (64 - 16x^2),dx = 64x - 16x^33
Nos limites de -2 a 2 isto dá
l[64x - tfrac16x^33r]-2^2 = 5123
Portanto
V = 512pi3

Resposta

512pi3

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