Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ao longo do contorno
. Vamos usar o teorema de resíduos de Cauchy, que diz que essa integral vale
vezes a soma dos resíduos das singularidades de
dentro de
.
Passo 2
Precisamos identificar as singularidades de
. A única singularidade é em
, pois aí o denominador fica zero e temos uma singularidade essencial. Verificamos que
está dentro de
porque
.
Passo 3
Para calcular o resíduo em
, fazemos a mudança de variável
. Aí
Passo 4
Na série de Laurent acima, o termo com
ocorre para
e seu coeficiente é
. Portanto, o resíduo de
em
é
.
Passo 5
Aplicando o teorema de resíduos, a integral é
Resposta
8\pi i