Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC e^4 /(z-2) d z, C:|z-1|=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointCe^4/(z-2),dz ao longo do contorno C:lvert z-1rvert=3. Vamos usar o teorema de resíduos de Cauchy, que diz que essa integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades de e^4/(z-2) dentro de C.

Passo 2

Precisamos identificar as singularidades de e^4/(z-2). A única singularidade é em z=2, pois aí o denominador fica zero e temos uma singularidade essencial. Verificamos que z=2 está dentro de C porque lvert2-1rvert=1<3.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=2, fazemos a mudança de variável w=z-2. Aí

Passo 4

Na série de Laurent acima, o termo com w^-1 ocorre para n=1 e seu coeficiente é 4. Portanto, o resíduo de e^4/(z-2) em z=2 é 4.

Passo 5

Aplicando o teorema de resíduos, a integral é

Resposta

8\pi i

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