Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
x=y^2, x=y+6 em torno do eixo y .

Passo 1

O problema pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas x=y^2 e x=y+6 em torno do eixo y. Vamos usar o método de discos (ou anéis), cortando o sólido por seções transversais perpendiculares ao eixo y.

Passo 2

Para encontrar o intervalo em y, resolvemos a interseção das curvas:
y^2 = y + 6 implies y^2 - y - 6 = 0 implies y = -2 ou y = 3

Passo 3

Em cada yin[-2,3], a região fica entre x=y^2 (limite interno) e x=y+6 (limite externo). Ao girar em torno de y, obtemos um anel de raio externo R(y)=y+6 e raio interno r(y)=y^2. A área da seção é
A(y) = pil[(y+6)^2 - (y^2)^2r]

Passo 4

O volume é dado por
V = integraly=-2^3 A(y),dy = pi integral-2^3 l[(y+6)^2 - y^4r],dy

Passo 5

Expandindo e integrando,
(y+6)^2 - y^4 = -y^4 + y^2 + 12y + 36,
V = pi integral-2^3 (-y^4 + y^2 + 12y + 36),dy = pil[-tfracy^55 + tfracy^33 + 6y^2 + 36yr]-2^3

Passo 6

Substituindo y=3 e y=-2 na antiderivada e fazendo a diferença, obtemos
-tfrac3^55 + tfrac3^33 + 6cdot3^2 + 36cdot3 - l(-tfrac(-2)^55 + tfrac(-2)^33 + 6cdot(-2)^2 + 36cdot(-2)r) = tfrac5003

Resposta

tfrac500pi3

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