Discuta o cálculo de C, onde |z|=1 é . Implemente suas ideias.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral ointC e^1/zsinl(1/zr),dz ao longo do círculo |z|=1. O tema aqui é integração de contorno em funções com singularidade essencial, e vamos precisar usar a expansão em série de Laurent e o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Identificamos que a única singularidade dentro de C é em z=0, e que ela é uma singularidade essencial. Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos obter a expansão em série de Laurent de e^1/zsin(1/z) e extrair o coeficiente de z^-1.

Passo 3

Expandimos cada fator em série de potências negativas de z:
e^1/z = sumn=0^infty 1n!;z^-n, sinl(1/zr) = summ=0^infty (-1)^m,1(2m+1)!;z^-(2m+1)

Passo 4

Multiplicando as duas séries, obtemos a série de Laurent da integranda:
e^1/zsinl(1/zr) = sumn=0^inftysumm=0^infty (-1)^mn!,(2m+1)!;z^-(n+2m+1)

Passo 5

O coeficiente de z^-1 (ou seja o resíduo em z=0) ocorre quando o expoente satisfaça n+2m+1=1, isto é n+2m=0. Como n,m>=0, a única solução é n=0 e m=0. O coeficiente correspondente é
(-1)^00!,(2cdot0+1)! = 1

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
ointC e^1/zsinl(1/zr),dz = 2pi i times (resíduo em 0) = 2pi i times 1 í

Resposta

2pi i

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