Discuta o cálculo de
, onde
é
. Implemente suas ideias.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral
ao longo do círculo
. O tema aqui é integração de contorno em funções com singularidade essencial, e vamos precisar usar a expansão em série de Laurent e o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Identificamos que a única singularidade dentro de
é em
, e que ela é uma singularidade essencial. Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos obter a expansão em série de Laurent de
e extrair o coeficiente de
.
Passo 3
Expandimos cada fator em série de potências negativas de
:
Passo 4
Multiplicando as duas séries, obtemos a série de Laurent da integranda:
Passo 5
O coeficiente de
(ou seja o resíduo em
) ocorre quando o expoente satisfaça
, isto é
. Como
, a única solução é
e
. O coeficiente correspondente é
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos: