Em cada um dos Problemas 1 a 3, esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se fé contínua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= t^2, & 0 <= t <= 1, 1, & 1< t <= 2, 3 - t, & 2< t <= 3,
e pede (a) um esboço de gráfico em 0<= t<=3 e (b) classificar se f é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas. Para isso, usamos o conceito de continuidade de funções polinomiais e verificamos limites laterais nos pontos de troca de definição ( t=1 e t=2).

Passo 2

Esboço do gráfico por intervalo:
  • Em 0<= t<=1, f(t)=t^2 é uma parábola que vai de (0,0) a (1,1). No ponto t=1 temos f(1)=1.
  • Em 1< t<=2, f(t)=1 é a reta horizontal de altura 1, ligando (1,1) a (2,1). Observe que em t=1 o valor já coincide em 1, e em t=2 temos ponto fechado em (2,1).
  • Em 2< t<=3, f(t)=3-t é uma reta decrescente que sai de (2,1) e chega em (3,0).

Passo 3

Continuidade em pontos internos de cada ramo:
Cada trecho é dado por polinômio ( t^2 ou constante ou reta 3-t), que é contínuo em todo ponto interior ao seu domínio.

Passo 4

Verificação nos pontos de junção:
limtto1^-f(t)=limtto1^-t^2=1, limtto1^+f(t)=1, f(1)=1,
logo f é contínua em t=1.
limtto2^-f(t)=1, limtto2^+f(t)=3-2=1, f(2)=1,
logo f é contínua em t=2.

Passo 5

Como não há nenhum salto ou descontinuidade em t=0,1,2,3 (nos extremos consideramos limite unilateral) e cada pedaço é contínuo, concluímos que f é contínua em todo o intervalo [0,3].

Resposta

A função é contínua em [0,3].

Exercícios relacionados