Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' - 8y' + 16y = 0
e pede que se encontre a solução geral y(x). Informações e dados relevantes fornecidos:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo independente (lado direito) é zero, ou seja, é uma equação homogênea.
  • Coeficientes numéricos: coeficiente de y'' é 1, de y' é -8 e de y é 16.

Passo 2

Método escolhido e por que: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial \,y=e^{rx}\,. A razão é que derivar uma exponencial apenas multiplica por r, então as derivadas permanecem da mesma família e^{rx} e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Agora aplicamos essa ideia.

Passo 3

Substituir y=e^{rx} e suas derivadas na equação. Temos
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo em \,y''-8y'+16y=0\, e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
r^{2}-8r+16=0.

Passo 4

Resolver a equação característica. Calcula-se o discriminante ou fatoriza:
r^{2}-8r+16=(r-4)^{2}=0.
Portanto há uma raiz real r=4 com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 5

Relembrando a regra prática para construção da solução geral:
  • Se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
  • Se existe uma raiz real r de multiplicidade 2 (raiz dupla), a segunda solução independente obtém-se multiplicando por x; a solução geral é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}.
Aqui temos exatamente o caso da raiz dupla r=4, então a forma indicada é aplicável.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso caso: substituindo r=4 obtemos a solução geral candidata
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se fornecidas).

Passo 7

Verificação direta (para você ficar seguro na prova): calcular y' e y'' para y=(C_{1}+C_{2}x)e^{4x} e verificar que a equação é satisfeita.
Calcule y' usando a regra do produto:
y' = C_{2}e^{4x} + (C_{1}+C_{2}x)\cdot 4e^{4x} = \bigl(4C_{1}+C_{2}+4C_{2}x\bigr)e^{4x}.
Calcule y'':
y'' = \frac{d}{dx}\bigl[(4C_{1}+C_{2}+4C_{2}x)e^{4x}\bigr].
Novamente produto: derivada do parêntese é 4C_{2}, então
y'' = 4C_{2}e^{4x} + (4C_{1}+C_{2}+4C_{2}x)\cdot 4e^{4x} = \bigl(16C_{1}+8C_{2}+16C_{2}x\bigr)e^{4x}.
Agora formar y''-8y'+16y. Como todos os termos têm fator comum e^{4x}, fatoramos:
y''-8y'+16y = \bigl(16C_{1}+8C_{2}+16C_{2}x\bigr)e^{4x} -8\bigl(4C_{1}+C_{2}+4C_{2}x\bigr)e^{4x} +16\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{4x}.
Colocando tudo sob o mesmo fator e^{4x} e somando os coeficientes escalares:
\bigl(16C_{1}+8C_{2}+16C_{2}x -32C_{1}-8C_{2}-32C_{2}x +16C_{1}+16C_{2}x\bigr)e^{4x}.
Simplificando termo a termo:
(16C_{1}-32C_{1}+16C_{1})+(8C_{2}-8C_{2})+(16C_{2}x-32C_{2}x+16C_{2}x) = 0.
Logo o resultado é 0\cdot e^{4x}=0, isto é, a expressão satisfaz a equação diferencial, confirmando que a solução geral está correta.

Passo 8

Resumo prático para a prova (dica de memorização): quando a característica tem raiz dupla r, lembre-se sempre de multiplicar por x a segunda solução exponencial. Assim a resposta imediata para essa equação é a forma com (C_{1}+C_{2}x)e^{4x}. Se em prova aparecerem condições iniciais, basta substituir x e y' em x=0 (ou outro ponto) e resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{4x}

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