Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que se encontre a solução geral
. Informações e dados relevantes fornecidos:
- É uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo independente (lado direito) é zero, ou seja, é uma equação homogênea.
- Coeficientes numéricos: coeficiente de
é , de é e de é .
Passo 2
Método escolhido e por que: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial
. A razão é que derivar uma exponencial apenas multiplica por
, então as derivadas permanecem da mesma família
e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Agora aplicamos essa ideia.
Passo 3
Substituir
e suas derivadas na equação. Temos
Substituindo em
e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação característica. Calcula-se o discriminante ou fatoriza:
Portanto há uma raiz real
com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 5
Relembrando a regra prática para construção da solução geral:
- Se a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , a solução geral é
- Se existe uma raiz real
de multiplicidade (raiz dupla), a segunda solução independente obtém-se multiplicando por ; a solução geral é
Aqui temos exatamente o caso da raiz dupla
, então a forma indicada é aplicável.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao nosso caso: substituindo
obtemos a solução geral candidata
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se fornecidas).
Passo 7
Verificação direta (para você ficar seguro na prova): calcular
e
para
e verificar que a equação é satisfeita.
Calcule
usando a regra do produto:
Calcule
:
Novamente produto: derivada do parêntese é
, então
Agora formar
. Como todos os termos têm fator comum
, fatoramos:
Colocando tudo sob o mesmo fator
e somando os coeficientes escalares:
Simplificando termo a termo:
Logo o resultado é
, isto é, a expressão satisfaz a equação diferencial, confirmando que a solução geral está correta.
Passo 8
Resumo prático para a prova (dica de memorização): quando a característica tem raiz dupla
, lembre-se sempre de multiplicar por
a segunda solução exponencial. Assim a resposta imediata para essa equação é a forma com
. Se em prova aparecerem condições iniciais, basta substituir
e
em
(ou outro ponto) e resolver o sistema linear para
.