Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'' - y' = 0
e pede para resolver essa equação, ou seja, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x. Não foram fornecidas condições iniciais, então o objetivo é obter a solução geral (com constantes arbitrárias). Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Idéia do método (motivações): para equações diferenciais com derivadas de ordem constante uma tentativa muito útil é testar soluções exponenciais do tipo \,y(x)=e^{rx}\,, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que costuma transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para o parâmetro r. Vou explicar passo a passo como aplicar isso aqui.
Passo 3
Aplicando a tentativa y(x)=e^{rx}: calcule as derivadas (aqui r é uma constante que vamos determinar).
y'(x)=r e^{rx}, \qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Essas fórmulas vêm da regra básica: a derivada de e^{rx} em relação a x é r e^{rx}, e a segunda derivada multiplica por r de novo, ficando r^{2}e^{rx}.
Passo 4
Substitua y,\,y',\,y'' na equação dada:
y''-y' = r^{2} e^{rx} - r e^{rx} = e^{rx}(r^{2}-r).
Para que isso seja zero para todo x é necessário que o fator que multiplica e^{rx} seja zero (pois e^{rx}\neq 0 para todo x). Logo obtemos a equação algébrica (chamada de equação característica)
Cada valor de r dá uma solução particular da forma e^{rx}. Assim as duas soluções particulares encontradas são e^{0x}=1 e e^{1x}=e^{x}.
Passo 6
Como a equação original é linear e homogênea, qualquer combinação linear das soluções particulares também é solução. Isso significa que a combinação
C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot e^{x}
(com C_{1} e C_{2} constantes reais arbitrárias) é solução geral. Para confirmar que essas duas soluções formam uma base (são linearmente independentes), calcule o Wronskiano:
para todo x. Como o Wronskiano é não nulo, as funções 1 e e^{x} são linearmente independentes e geram a solução geral de ordem 2.]
Passo 7
Método alternativo (redução de ordem) — é útil para entender e reforçar: defina p(x)=y'(x). Então p'(x)=y''(x) e a equação vira
p' - p = 0.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para p. Resolva-a: \dfrac{dp}{dx}=p implica \dfrac{dp}{p}=dx. Integrando,
\ln|p| = x + k \quad\Rightarrow\quad p(x)=A e^{x},
com A constante. Voltando para y, temos y'(x)=A e^{x}. Integrando novamente,
y(x)=A e^{x} + B,
onde B é outra constante de integração. Renomeando A e B como constantes usuais C_{2} e C_{1} obtemos a mesma forma encontrada antes.
Passo 8
Observação prática para prova: se vierem condições iniciais, por exemplo y(0)=y_{0} e y'(0)=y_{1}, você usa a solução geral y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x} e calcula
y(0)=C_{1}+C_{2}=y_{0},\qquad y'(0)=C_{2}=y_{1},
dessa forma C_{2}=y_{1} e C_{1}=y_{0}-y_{1}. É rápido de aplicar em prova.
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.