Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado. O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-4y'+3y=0.
Não há condições iniciais nem parâmetros extras: é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para todo x.
Passo 2
Por que tentar soluções exponenciais e como fazer isso. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (real ou complexo) a determinar. A razão é que exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria função, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para r. Vamos calcular as derivadas dessa função-piloto:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Passo 3
Substituir y, y' e y'' na equação original e obter a equação característica. Substituindo as deriva-das obtemos
r^{2}e^{rx}-4(r e^{rx})+3(e^{rx})=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação algébrica (chamada equação característica)
r^{2}-4r+3=0.
Passo 4
Resolver a equação característica. A equação quadrática
r^{2}-4r+3=0
pode ser fatorada procurando dois números cujo produto seja 3 e cuja soma seja 4. Esses números são 1 e 3. Assim
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=3.
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes distintas. A teoria das equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes diz que, se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, então duas soluções independentes são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}, e a solução geral é combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo r_{1}=1 e r_{2}=3 obtemos
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida de que as funções encontradas são soluções. Verifica-se facilmente substituindo y=e^{x} na equação original:
Como o Wronskiano não é nulo, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e portanto a combinação linear com duas constantes arbitrárias fornece a solução geral do espaço de soluções (que tem dimensão 2).
Passo 8
Como determinar as constantes se houver condições iniciais (exemplo didático). Se fossem dadas condições como y(0)=A e y'(0)=B, pode-se encontrar C_{1} e C_{2} resolvendo o sistema
y(0)=C_{1}+C_{2}=A,
y'(0)=C_{1}+3C_{2}=B.
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se 2C_{2}=B-A\Rightarrow C_{2}=\dfrac{B-A}{2} e então C_{1}=A-C_{2}=\dfrac{3A-B}{2}. Esse passo é útil na prova para ajustar a solução geral a condições específicas.