Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado. O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-4y'+3y=0.
Não há condições iniciais nem parâmetros extras: é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para todo x.

Passo 2

Por que tentar soluções exponenciais e como fazer isso. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (real ou complexo) a determinar. A razão é que exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria função, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para r. Vamos calcular as derivadas dessa função-piloto:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação original e obter a equação característica. Substituindo as deriva-das obtemos
r^{2}e^{rx}-4(r e^{rx})+3(e^{rx})=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação algébrica (chamada equação característica)
r^{2}-4r+3=0.

Passo 4

Resolver a equação característica. A equação quadrática
r^{2}-4r+3=0
pode ser fatorada procurando dois números cujo produto seja 3 e cuja soma seja 4. Esses números são 1 e 3. Assim
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=3.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes distintas. A teoria das equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes diz que, se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, então duas soluções independentes são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}, e a solução geral é combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo r_{1}=1 e r_{2}=3 obtemos
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida de que as funções encontradas são soluções. Verifica-se facilmente substituindo y=e^{x} na equação original:
y'=e^{x},\quad y''=e^{x}\quad\Rightarrow\quad y''-4y'+3y=e^{x}-4e^{x}+3e^{x}=0.
O mesmo vale para y=e^{3x}:
y'=3e^{3x},\quad y''=9e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 9e^{3x}-4\cdot3e^{3x}+3e^{3x}=9e^{3x}-12e^{3x}+3e^{3x}=0.
Assim ambas são soluções e qualquer combinação linear também é solução (linearidade e homogenei-dade).

Passo 7

Mostrar que as soluções são linearmente independentes (por exemplo usando o Wronskiano). Para y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{3x} o Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & e^{3x} \\\ e^{x} & 3e^{3x} \end{vmatrix} = e^{x}\cdot 3e^{3x}-e^{3x}\cdot e^{x}=2e^{4x}\neq 0\\ \text{para todo }x.
Como o Wronskiano não é nulo, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e portanto a combinação linear com duas constantes arbitrárias fornece a solução geral do espaço de soluções (que tem dimensão 2).

Passo 8

Como determinar as constantes se houver condições iniciais (exemplo didático). Se fossem dadas condições como y(0)=A e y'(0)=B, pode-se encontrar C_{1} e C_{2} resolvendo o sistema
y(0)=C_{1}+C_{2}=A,
y'(0)=C_{1}+3C_{2}=B.
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se 2C_{2}=B-A\Rightarrow C_{2}=\dfrac{B-A}{2} e então C_{1}=A-C_{2}=\dfrac{3A-B}{2}. Esse passo é útil na prova para ajustar a solução geral a condições específicas.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}

Exercícios relacionados