Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 3y' + 2y = 0
e pede para resolver (isto é, encontrar a solução geral). Informações fornecidas e observações importantes que tiramos do enunciado:
  • A equação é de segunda ordem (aparece y'').
  • É homogênea (lado direito igual a 0).
  • Os coeficientes são constantes ( -3 e 2).
  • O objetivo é obter a solução geral y(x), normalmente escrita com constantes arbitrárias (por exemplo C_1,C_2).

Passo 2

Método-padrão para este tipo de equação: tentar uma solução do tipo exponencial. A ideia é testar uma função simples e ver se gera uma equação para um número (em vez de uma função). Assim, suponha uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo). Explicação curta do porquê: as exponenciais transformam derivadas em multiplicações por r, o que troca a equação diferencial por uma equação algébrica em r. Isso facilita muito.

Passo 3

Calcule as derivadas de y(x)=e^{r x}:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial obtém-se uma relação que deve valer para todos x:
r^{2} e^{r x} -3 r e^{r x} +2 e^{r x}=0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficamos com a equação polinomial (chamada equação característica):
r^{2}-3r+2=0.

Passo 4

Resolver a equação característica. Esta é uma quadrática simples; fatoramos:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=2.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui, substituindo r_{1}=1 e r_{2}=2, obtemos
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}.
Breve comentário sobre por que isso é válido: a linearidade e homogeneidade da equação permite combinar soluções (princípio da superposição). Além disso, e^{x} e e^{2x} são linearmente independentes (por exemplo, o wronskiano dá W=e^{3x}(2-1)=e^{3x}\neq0), garantindo que a combinação acima é a forma geral.

Passo 6

Verificação rápida (para ficarmos confiantes): verificar que y(x)=e^{r x} é solução quando r satisfaz a característica. Substituindo uma função e^{r x} na equação original chega-se a
(r^{2}-3r+2)e^{r x}=0,
portanto, se r é raiz da quadrática, o termo entre parênteses é zero e a exponencial satisfaz a EDO. Assim e^{x} e e^{2x} satisfazem a equação, e por linearidade qualquer combinação também satisfaz.

Passo 7

Como usar a solução na prática (se vierem condições iniciais): se, por exemplo, forem dadas y(0)=y_{0} e y'(0)=y_{1}, então substitui-se x=0 em
y(0)=C_{1}+C_{2}=y_{0},
e calcula-se y'(x)=C_{1}e^{x}+2C_{2}e^{2x}, dando
y'(0)=C_{1}+2C_{2}=y_{1}.
Isso forma um sistema linear em C_{1},C_{2} que se resolve por álgebra básica para obter as constantes que atendem às condições iniciais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}

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