Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver (isto é, encontrar a solução geral). Informações fornecidas e observações importantes que tiramos do enunciado:
- A equação é de segunda ordem (aparece
). - É homogênea (lado direito igual a
). - Os coeficientes são constantes (
e ). - O objetivo é obter a solução geral
, normalmente escrita com constantes arbitrárias (por exemplo ).
Passo 2
Método-padrão para este tipo de equação: tentar uma solução do tipo exponencial. A ideia é testar uma função simples e ver se gera uma equação para um número (em vez de uma função). Assim, suponha uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo). Explicação curta do porquê: as exponenciais transformam derivadas em multiplicações por
, o que troca a equação diferencial por uma equação algébrica em
. Isso facilita muito.
Passo 3
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial obtém-se uma relação que deve valer para todos
:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficamos com a equação polinomial (chamada equação característica):
Passo 4
Resolver a equação característica. Esta é uma quadrática simples; fatoramos:
Portanto as raízes são
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui, substituindo
e
, obtemos
Breve comentário sobre por que isso é válido: a linearidade e homogeneidade da equação permite combinar soluções (princípio da superposição). Além disso,
e
são linearmente independentes (por exemplo, o wronskiano dá
), garantindo que a combinação acima é a forma geral.
Passo 6
Verificação rápida (para ficarmos confiantes): verificar que
é solução quando
satisfaz a característica. Substituindo uma função
na equação original chega-se a
portanto, se
é raiz da quadrática, o termo entre parênteses é zero e a exponencial satisfaz a EDO. Assim
e
satisfazem a equação, e por linearidade qualquer combinação também satisfaz.
Passo 7
Como usar a solução na prática (se vierem condições iniciais): se, por exemplo, forem dadas
e
, então substitui-se
em
e calcula-se
, dando
Isso forma um sistema linear em
que se resolve por álgebra básica para obter as constantes que atendem às condições iniciais.