Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e pede a sua solução geral:
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação homogênea de segunda ordem.
- Não foram dadas condições iniciais; portanto pede-se a solução geral (com constantes arbitrárias).
Passo 2
Idéia do método (explicação didática do que vou fazer).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução do tipo
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando temos
e
. Substituindo essas expressões na equação original, o fator
(nunca zero) pode ser cancelado, resultando numa equação algébrica para
. Essa equação algébrica é chamada equação característica. O conjunto de raízes
dá a forma das soluções; dependendo de as raízes serem reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas, a forma final da solução geral muda. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Formação da equação característica.
Substituindo ,
,
em
Substituindo
obtém-se, após cancelar
,
Essa é a equação característica. Aqui, a variável
representa o expoente da função exponencial tentativa; as suas raízes dizem-nos os expoentes que geram soluções da EDO.
Passo 4
Resolução da equação quadrática (achar as raízes).
Usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para
Usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para
O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Vou escrever essas raízes na forma
, com
Passo 5
Construção da solução geral a partir das raízes complexas (explicação didática).
Quando as raízes são complexas conjugadas , as soluções exponenciais correspondentes são
e
. Essas duas soluções complexas geram, por combinação linear com coeficientes complexos, todas as soluções complexas. Para obter a solução real (que normalmente queremos), usa-se a identidade de Euler:
Quando as raízes são complexas conjugadas
Aplicando isso,
As partes real e imaginária,
e
, são soluções reais independentes. Consequentemente, a solução geral real é dada por
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Aqui, explicitando
e
encontrados:
Passo 6
Escrever a solução geral final substituindo
e
e comentar sobre independência.
Assim a solução geral da equação dada é
Assim a solução geral da equação dada é
com
. Essas duas funções base são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano é diferente de zero), então elas formam uma base do espaço das soluções reais da EDO.