Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e pede a sua solução geral:
y'' - 3y' + 4y = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação homogênea de segunda ordem.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto pede-se a solução geral (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Idéia do método (explicação didática do que vou fazer).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução do tipo
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando temos y'=r e^{r x} e y''=r^{2} e^{r x}. Substituindo essas expressões na equação original, o fator e^{r x} (nunca zero) pode ser cancelado, resultando numa equação algébrica para r. Essa equação algébrica é chamada equação característica. O conjunto de raízes r dá a forma das soluções; dependendo de as raízes serem reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas, a forma final da solução geral muda. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Formação da equação característica.
Substituindo y=e^{r x}, y'=r e^{r x}, y''=r^{2} e^{r x} em
y''-3y'+4y=0,
obtém-se, após cancelar e^{r x},
r^{2}-3r+4=0.
Essa é a equação característica. Aqui, a variável r representa o expoente da função exponencial tentativa; as suas raízes dizem-nos os expoentes que geram soluções da EDO.

Passo 4

Resolução da equação quadrática (achar as raízes).
Usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para
r^{2}-3r+4=0.
O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 9-16 = -7.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3}{2} \pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{7}}{2}.
Vou escrever essas raízes na forma \alpha\pm \mathrm{i}\beta, com
\alpha=\frac{3}{2},\qquad \beta=\frac{\sqrt{7}}{2}.

Passo 5

Construção da solução geral a partir das raízes complexas (explicação didática).
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm \mathrm{i}\beta, as soluções exponenciais correspondentes são e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x} e e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)x}. Essas duas soluções complexas geram, por combinação linear com coeficientes complexos, todas as soluções complexas. Para obter a solução real (que normalmente queremos), usa-se a identidade de Euler:
e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta.
Aplicando isso,
e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+\mathrm{i}\sin(\beta x)).
As partes real e imaginária, e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x), são soluções reais independentes. Consequentemente, a solução geral real é dada por
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Aqui, explicitando \alpha e \beta encontrados:
\alpha=\frac{3}{2},\qquad \beta=\frac{\sqrt{7}}{2}.

Passo 6

Escrever a solução geral final substituindo \alpha e \beta e comentar sobre independência.
Assim a solução geral da equação dada é
y(x)=e^{\tfrac{3}{2}x}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Essas duas funções base são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano é diferente de zero), então elas formam uma base do espaço das soluções reais da EDO.

Resposta

y(x)=e^{\tfrac{3}{2}x}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)

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