Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial:
O que se pede: encontrar a solução geral
usando o método dos coeficientes indeterminados (ou seja, achar uma solução geral
, onde
é a solução da homogênea e
é uma particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação linear de ordem 2.
- Coeficientes constantes (1, 1, 1).
- Termo não-homogêneo: o polinômio
(grau 2). - Espera-se a solução geral contendo duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter
.
A homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Esta é uma quadrática; suas raízes são
Como as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a forma real da solução homogênea é
Substituindo os valores de
e
obtemos
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: para raízes complexas
da característica, a solução real combina
e
; por isso essa forma.
Passo 3
Explicar o método dos coeficientes indeterminados e escolher o formato de
.
Ideia do método (em palavras simples): quando o termo à direita da ODE tem forma conhecida (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses), tenta-se uma solução particular
com a mesma forma, mas com coeficientes desconhecidos; substitui-se na equação e ajusta os coeficientes igualando os termos. Se a forma escolhida para
coincidir com alguma solução da homogênea, multiplica-se a tentativa por uma potência de
até que não coincida (isso evita “ressonância”).
No nosso caso o termo é um polinômio de grau 2:
. A escolha inicial natural é um polinômio de grau 2:
com
constantes desconhecidas.
Antes de aceitar essa tentativa, verificar ressonância: seria preciso multiplicar por
se o polinômio estivesse reproduzindo uma solução da homogênea. Aqui a homogênea tem soluções exponenciais com fator
e trigonométricas; um polinômio puro não é solução da homogênea, portanto
e a tentativa acima é válida sem multiplicar por
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na ODE.
Derivadas:
Somando conforme a equação:
Agrupando termos por potências de
:
Passo 5
Igualar os coeficientes com o lado direito
.
Queremos que
Isto significa igualdade coeficiente a coeficiente:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Agora resolver essas equações para
.
Passo 6
Resolver o sistema para
.
Usando
na segunda equação:
Usando
e
na terceira:
Portanto
Logo a solução particular é
Passo 7
Verificação rápida (pra confiar no resultado).
Calcular
Confere: a soma retorna exatamente
. Boa —
está correta.
Passo 8
Escrever a solução geral da equação completa.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Substituindo
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, se houver.