Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial:
y''+y'+y=x^{2}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) usando o método dos coeficientes indeterminados (ou seja, achar uma solução geral y=y_h+y_p, onde y_h é a solução da homogênea e y_p é uma particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação linear de ordem 2.
  • Coeficientes constantes (1, 1, 1).
  • Termo não-homogêneo: o polinômio x^{2} (grau 2).
  • Espera-se a solução geral contendo duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter y_h.
A homogênea é
y''+y'+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+r+1=0.
Esta é uma quadrática; suas raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, a forma real da solução homogênea é
y_h(x)=e^{\alpha x}\!\left(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\right).
Substituindo os valores de \alpha e \beta obtemos
y_h(x)=e^{-x/2}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: para raízes complexas a\pm ib da característica, a solução real combina e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx); por isso essa forma.

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes indeterminados e escolher o formato de y_p.
Ideia do método (em palavras simples): quando o termo à direita da ODE tem forma conhecida (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses), tenta-se uma solução particular y_p com a mesma forma, mas com coeficientes desconhecidos; substitui-se na equação e ajusta os coeficientes igualando os termos. Se a forma escolhida para y_p coincidir com alguma solução da homogênea, multiplica-se a tentativa por uma potência de x até que não coincida (isso evita “ressonância”).
No nosso caso o termo é um polinômio de grau 2: x^{2}. A escolha inicial natural é um polinômio de grau 2:
y_p(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C constantes desconhecidas.
Antes de aceitar essa tentativa, verificar ressonância: seria preciso multiplicar por x^{s} se o polinômio estivesse reproduzindo uma solução da homogênea. Aqui a homogênea tem soluções exponenciais com fator e^{-x/2} e trigonométricas; um polinômio puro não é solução da homogênea, portanto s=0 e a tentativa acima é válida sem multiplicar por x.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p e substituir na ODE.
Derivadas:
y_p'(x)=2Ax+B,
y_p''(x)=2A.
Somando conforme a equação:
y_p''+y_p'+y_p = 2A + (2Ax+B) + (Ax^{2}+Bx+C).
Agrupando termos por potências de x:
y_p''+y_p'+y_p = Ax^{2} + (2A+B)x + (2A+B+C).

Passo 5

Igualar os coeficientes com o lado direito x^{2}.
Queremos que
Ax^{2} + (2A+B)x + (2A+B+C) \equiv x^{2}.
Isto significa igualdade coeficiente a coeficiente:
  • Coeficiente de x^{2}: A=1.
  • Coeficiente de x: 2A+B=0.
  • Termo constante: 2A+B+C=0.
Agora resolver essas equações para A,B,C.

Passo 6

Resolver o sistema para A,B,C.
Usando A=1 na segunda equação:
2\cdot 1 + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Usando A=1 e B=-2 na terceira:
2\cdot 1 + (-2) + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
A=1,\qquad B=-2,\qquad C=0.
Logo a solução particular é
y_p(x)=x^{2}-2x.

Passo 7

Verificação rápida (pra confiar no resultado).
Calcular
y_p''+y_p'+y_p = 2 + (2x-2) + (x^{2}-2x) = x^{2}.
Confere: a soma retorna exatamente x^{2}. Boa — y_p está correta.

Passo 8

Escrever a solução geral da equação completa.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Substituindo y_h e y_p:
y(x)=e^{-x/2}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)+x^{2}-2x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Resposta

y(x)=e^{-x/2}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)+x^{2}-2x

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