Em cada um dos problemas seguintes são dadas uma equação linear de terceira ordem homogênea e três soluções linearmente independentes. Encontre uma solução particular satisfazendo as condições iniciais dadas.
x^3 y^(3)-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=0 ; y(1)=6, y^prime(1)=14, y^prime prime(1)=22 ; y1=x, y2=x^2, y3=x^3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
x^3y^(3)-3x^2y''+6xy'-6y=0
e informa três soluções independentes ,y1=x,;y2=x^2,;y3=x^3. Pede-se achar a solução particular que satisfaz as condições iniciais em x=1:
y(1)=6, y'(1)=14, y''(1)=22
Como temos três soluções independentes, o espaço de soluções gerais é dado por combinação linear dessas.

Passo 2

Escrevemos a solução geral como
y(x)=A,x + B,x^2 + C,x^3,
onde A,B,C são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x)=A + 2B,x + 3C,x^2, y''(x)=2B + 6C,x

Passo 4

Aplicando as condições em x=1 obtemos o sistema
y(1)=A+B+C=6, y'(1)=A+2B+3C=14, y''(1)=2B+6C=22

Passo 5

Da terceira equação:
2B+6C=22Longrightarrow B+3C=11Longrightarrow B=11-3C
Substituindo em A+B+C=6:
A+(11-3C)+C=6Longrightarrow A=6-11+2C=-5+2C
Agora em A+2B+3C=14:
(-5+2C)+2(11-3C)+3C=14 Longrightarrow -5+2C+22-6C+3C=14 Longrightarrow 17 -C=14 Longrightarrow C=3
Logo
B=11-3cdot3=2, A=-5+2cdot3=1

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
boxedy(x)=x + 2x^2 + 3x^3

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