Em cada um dos problemas a seguir, uma equação diferencial não homogênea, uma solução complementar yc e uma solução particular yp são dadas. Encontre uma solução satisfazendo as condições iniciais dadas.
y^prime prime+y=3 x ; y(0)=2, y^prime(0)=-2 ; yc=c1 cos x+c2 sen x ; yp=3 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea ,y'' + y = 3x com condições iniciais ,y(0)=2 e ,y'(0)=-2. São fornecidas a solução complementar
,yc = c1 cos x + c2 sin x
e a solução particular
,yp = 3x.
Vamos achar a solução geral e determinar c1 e c2 pelas condições iniciais.

Passo 2

A solução geral é
y(x) = yc + yp = c1 cos x + c2 sin x + 3x

Passo 3

Aplicando a condição y(0)=2:
y(0)=c1cdot1 + c2cdot0 + 3cdot0 = c1 = 2

Passo 4

Primeiro calculamos a derivada:
y'(x) = -c1 sin x + c2 cos x + 3
Em x=0 fica
y'(0)= -c1cdot0 + c2cdot1 + 3 = c2 + 3,
e como y'(0)=-2 obtemos
c2 + 3 = -2 Longrightarrow c2 = -5

Resposta

y(x) = 2cos x ;-; 5sin x ;+; 3x

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