Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
y=raizx, 0 <= x <= 1 em torno do eixo x

Passo 1

Neste problema vamos calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva y=raizx no intervalo 0<= x<=1 em torno do eixo x. O conteúdo envolvido é área de superfície de revolução, usando a fórmula abaixo, e vamos precisar da derivada de y e de integrar a função obtida.

Passo 2

A primeira coisa é obter y'. Como y=x^1/2, temos
y' = ddxl(x^1/2r)=12 x^-1/2=12raizx

Passo 3

Agora vamos montar o integrando da fórmula de área de superfície:
S=integral0^1 2pi yraiz1+(y')^2,dx
Substituindo y=raizx e y'=1/(2raizx),
raiz1+(y')^2=raiz1+14x=raiz4x+12raizx,
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2pi yraiz1+(y')^2=2piraizxcdotraiz4x+12raizx=piraiz4x+1
Assim
S=piintegral0^1raiz4x+1,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1raiz4x+1,dx, fazemos a substituição u=4x+1, du=4,dx, e os limites mudam de u(0)=1 a u(1)=5. Então
integral0^1raiz4x+1,dx=integral1^5 u^1/2du4=14cdotu^3/23/2|1^5=16l(5^3/2-1r)
Substituindo em S=pi vezes esse resultado, chegamos à expressão final.

Passo 5

Resposta

S=pi6l(5raiz5-1r).

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