Encontre um valor para a constante k, quando possível, para que a função seja contínua em R.
cc-6 x+2, & se x <= 2 -k x^2, & se x>2

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)=-6x+2,&x<=2-kx^2,&x>2
O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes. Para que seja contínua em R, em especial em x=2, precisamos que os limites laterais em 2 coincidam e igualem a f(2).

Passo 2

Para calcular o limite à esquerda em x=2, observamos que para x<=2 vale f(x)=-6x+2. Como essa é uma função polinomial, o limite é o próprio valor em 2:
limxto2^-f(x)=f(2)=-6cdot2+2=-12+2=-10

Passo 3

Para calcular o limite à direita em x=2, usamos a expressão f(x)=-kx^2 válida para x>2. Novamente é um polinômio em x, logo:
limxto2^+f(x)=-kcdot2^2=-4k

Passo 4

Impondo a continuidade em x=2, igualamos os limites laterais:
-10=-4k
Resolvendo para k, dividimos ambos os lados por -4:
k=-10-4=52

Resposta

k=52

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