Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
y=x^3, 1 <= x <= 2 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação de y=x^3, para 1<= x<= 2, em torno do eixo x. Esse problema envolve o conceito de superfície de revolução e vamos usar a fórmula apropriada.

Passo 2

Para curvas y=f(x) girando em torno do eixo x, a área é dada por
A = integrala^b 2pi,y,raiz1 + (dydx)^2,dx
Aqui y=f(x)=x^3.

Passo 3

Calcula-se a derivada
dydx = 3x^2
Logo, o fator de alongamento do arco é
raiz1+(3x^2)^2 = raiz1+9x^4

Passo 4

Substituindo na fórmula, o integral fica:
A = integral1^2 2pi,x^3,raiz1+9x^4,dx

Passo 5

Para resolver esse integral, fazemos a substituição
u = 1 + 9x^4,
então
du = 36x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = du36
Os limites viram u(1)=10 e u(2)=145.

Passo 6

Em termos de u, temos
A = 2pi integral10^145 raizu36,du = pi27 integral10^145 u^1/2,du
Integrando e aplicando os limites,
A = pi27l[u^3/2r]10^145 = pi27l(145^3/2 - 10^3/2r)

Resposta

A = pi27l(145raiz145 - 10raiz10r)

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