Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1z sen z d z
© |z|=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC1zsin z,dz ao longo do círculo |z|=5, usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Aqui o conteúdo é cálculo de resíduos em polos isolados e depois aplicação de ointC f(z),dz=2pi isumRes(f).

Passo 2

Precisamos encontrar todas as singularidades de f(z)=1/(zsin z) dentro de |z|<5. Elas ocorrem quando z=0 (polo de ordem 2) e nos zeros de sin z, ou seja z=kpi. Dentro do raio 5 ficam z=0,,pi,,-pi (pois 2piapprox6,28>5).

Passo 3

Para o polo em z=0, expandimos sin z em série:
sin z=z-z^36+cdotsLongrightarrow zsin z=z^2-z^46+cdots
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1zsin z=1z^211-z^26+cdots=1z^2l(1+z^26+cdotsr)=1z^2+16+cdots
Não há termo 1/z nessa expansão, então
Res(f,0)=0

Passo 4

Para z0=kpi com k=pm1, são polos simples porque sin z’ em z0 não é zero. Usamos
Resl(1zsin z,z0r)=1z0,cos z0
Como cos(kpi)=(-1)^k, obtemos
Res(f,pi)=1picdot(-1)=-1pi, Res(f,-pi)=1(-pi)cdot(-1)=+1pi

Passo 5

Somando os resíduos dentro de |z|<5:
sumRes(f)=0+l(-tfrac1pi+tfrac1pir)=0
Pelo teorema de resíduos,
ointC1zsin z,dz=2pi isumRes(f)=2pi icdot0=0

Resposta

0

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