Decida se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique aquelas que forem falsas com um contraexemplo.
(a) Se lim x 1 f(x) existe, então f é contínua.
(b) Se lim x 1^+ f(x)=f(1) existe, então f é contínua.
© Considere f(x)=sen x e suponha que lim x a g(x)=L, então lim x a(f circ g)(x)=sen(L).

Passo 1

O exercício pede para decidir se três afirmações sobre limites e continuidade são verdadeiras ou falsas, e justificar com contraexemplo quando forem falsas. O conteúdo é limites laterais, definição de continuidade e composição de funções contínuas.

Passo 2

(a) Aqui a afirmação é falsa. Ter
limxto 1f(x) existindo significa apenas que o limite bidirecional existe, mas não diz nada sobre o valor de f(1). Para continuidade precisamos de limxto1f(x)=f(1). Contraexemplo: defina
f(x)=0,&xneq1,1,&x=1
Então limxto1f(x)=0 existe, mas f(1)=1, logo não é contínua em 1.

Passo 3

(b) Também é falsa. Dizer que limxto1^+f(x)=f(1) só garante a continuidade pela direita; falta a bola pela esquerda. Um contraexemplo clássico é a função de salto:
f(x)=0,&x>=1,1,&x<1
Aqui limxto1^+f(x)=0=f(1), mas limxto1^-f(x)=1, então não é contínua em 1.

Passo 4

© Essa afirmação é verdadeira porque sin x é contínua em todo ponto. Se limxto ag(x)=L, pela propriedade de funções contínuas temos
limxto a(sincirc g)(x)=sinl(limxto ag(x)r)=sin(L)

Resposta

(a) Falsa. (b) Falsa. © Verdadeira.

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