Decida se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique aquelas que forem falsas com um contraexemplo.
(a) Se
existe, então
é contínua.
(b) Se
existe, então
é contínua.
© Considere
e suponha que
, então
.
(a) Se
(b) Se
© Considere
Passo 1
O exercício pede para decidir se três afirmações sobre limites e continuidade são verdadeiras ou falsas, e justificar com contraexemplo quando forem falsas. O conteúdo é limites laterais, definição de continuidade e composição de funções contínuas.
Passo 2
(a) Aqui a afirmação é falsa. Ter
existindo significa apenas que o limite bidirecional existe, mas não diz nada sobre o valor de
. Para continuidade precisamos de
. Contraexemplo: defina
Então existe, mas
, logo não é contínua em 1.
Então
Passo 3
(b) Também é falsa. Dizer que
só garante a continuidade pela direita; falta a bola pela esquerda. Um contraexemplo clássico é a função de salto:
Aqui , mas
, então não é contínua em 1.
Aqui
Passo 4
© Essa afirmação é verdadeira porque
é contínua em todo ponto. Se
, pela propriedade de funções contínuas temos
Resposta
(a) Falsa. (b) Falsa. © Verdadeira.