Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
y=x^55+112 x^3, 1 <= x <= 2 em torno de eixo y

Passo 1

Temos a curva definida por
y=x^55+112x^3, 1<= x<=2
que vai girar em torno do eixo y. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução em torno do eixo y, e vamos precisar usar a fórmula
[S=2\pi\int_{a}{b}x\sqrt{1+\bigl(y’(x)\bigr){2}},dx.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y:
[y’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x{5}}{5}+\frac{1}{12x{3}}\Bigr)=x{4}-\frac{1}{4x{4}}.

Passo 3

Agora, simplificamos o fator raiz1+[y'(x)]^2. Note que
$$1+\bigl(x{4}-\tfrac{1}{4x{4}}\bigr){2}=x{8}+\tfrac12+\tfrac{1}{16x{8}}=\Bigl(x{4}+\tfrac{1}{4x{4}}\Bigr){2},
$$
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[\sqrt{1+[y’(x)]{2}}=x{4}+\frac{1}{4x^{4}}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
[S=2\pi\int_{1}{2}x\Bigl(x{4}+\frac{1}{4x{4}}\Bigr)dx=2\pi\int_{1}{2}\bigl(x{5}+\tfrac{1}{4x{3}}\bigr)dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
[\int x{5}dx=\frac{x{6}}{6},\quad \int \frac{1}{4x{3}}dx=\frac{1}{4}\cdot\Bigl(\frac{x{-2}}{-2}\Bigr)=-\frac{1}{8x^{2}}.
]
Portanto
[S=2\pi\Bigl[\frac{x{6}}{6}-\frac{1}{8x{2}}\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliando em x=2 e x=1:
Em x=2: tfrac2^66-tfrac18cdot2^2=tfrac646-tfrac132=tfrac1024-396=tfrac102196
Em x=1: tfrac16-tfrac18=tfrac4-324=tfrac124
Diferença: tfrac102196-tfrac124=tfrac1021-496=tfrac101796
Multiplicando por 2pi e simplificando: S=2picdottfrac101796=tfrac339pi16

Resposta

339pi16

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