Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
em torno de eixo y
Passo 1
Temos a curva definida por
que vai girar em torno do eixo
[S=2\pi\int_{a}{b}x\sqrt{1+\bigl(y’(x)\bigr){2}},dx.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
:
[y’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x{5}}{5}+\frac{1}{12x{3}}\Bigr)=x{4}-\frac{1}{4x{4}}.
Passo 3
Agora, simplificamos o fator
. Note que
$$1+\bigl(x{4}-\tfrac{1}{4x{4}}\bigr){2}=x{8}+\tfrac12+\tfrac{1}{16x{8}}=\Bigl(x{4}+\tfrac{1}{4x{4}}\Bigr){2},
$$
logo
[\sqrt{1+[y’(x)]{2}}=x{4}+\frac{1}{4x^{4}}.
logo
[\sqrt{1+[y’(x)]{2}}=x{4}+\frac{1}{4x^{4}}.
Passo 4
Substituindo na fórmula da área:
[S=2\pi\int_{1}{2}x\Bigl(x{4}+\frac{1}{4x{4}}\Bigr)dx=2\pi\int_{1}{2}\bigl(x{5}+\tfrac{1}{4x{3}}\bigr)dx.
Passo 5
Calculamos a integral:
[\int x{5}dx=\frac{x{6}}{6},\quad \int \frac{1}{4x{3}}dx=\frac{1}{4}\cdot\Bigl(\frac{x{-2}}{-2}\Bigr)=-\frac{1}{8x^{2}}.
]
Portanto
[S=2\pi\Bigl[\frac{x{6}}{6}-\frac{1}{8x{2}}\Bigr]_{1}^{2}.
]
Portanto
[S=2\pi\Bigl[\frac{x{6}}{6}-\frac{1}{8x{2}}\Bigr]_{1}^{2}.
Passo 6
Avaliando em
e
:
Em :
Em
Em
:
Diferença:
Multiplicando por
e simplificando: