Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1z^3(z-1)^4 d z, C:|z-2|=32

Passo 1

A gente precisa calcular a integral ointC1z^3(z-1)^4,dz usando o teorema dos resíduos de Cauchy. O contorno é C:,|z-2|=3/2. Vamos precisar identificar os polos de f(z)=1/[z^3(z-1)^4], ver quais ficam dentro de C e então aplicar o teorema pra somar os resíduos.

Passo 2

Os polos de f(z) são em z=0 (ordem 3) e em z=1 (ordem 4). Como o contorno C é o círculo centrado em 2 de raio 3/2, temos |0-2|=2>3/2 então z=0 fica fora, e |1-2|=1<3/2 então z=1 fica dentro. Logo só o polo em z=1 contribui.

Passo 3

Para um polo de ordem m=4 em z=1 usamos a fórmula do resíduo:
Res(f,1)=1(4-1)!limzto1d^3dz^3l[(z-1)^4f(z)r] = 13!limzto1d^3dz^3l(1z^3r)
Seja g(z)=z^-3. Então
g'(z)=-3z^-4, g''(z)=12z^-5, g'''(z)=-60z^-6
Avaliando em z=1 g'''(1)=-60. Assim
Res(f,1)=-606=-10

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos, como só o polo em z=1 está dentro de C,
ointC1z^3(z-1)^4,dz = 2pi isumRes=2pi i(-10) = -20pi i

Resposta

-20\pi i

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