Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
x=y^48+14 y^2, 1 <= y <= 2 em torno do eixo x

Passo 1

Temos a curva x = y^48 + 14y^2 para 1 <= y <= 2 girada em torno do eixo x. O conteúdo estudado é área de superfície de revolução de uma curva dada por x(y), e vamos precisar da fórmula
S = integrala^b 2pi y raiz1 + l(tfracdxdyr)^2,dy

Passo 2

Começando pela derivada, temos
dxdy = ddyl(y^48 + 14y^2r) = 4y^38 - 24y^3 = y^32 - 12y^3 = y^6 - 12y^3

Passo 3

Calculando 1 + l(dxdyr)^2, obtemos
1 + l(y^6 - 12y^3r)^2 = 4y^6 + (y^6 - 1)^24y^6 = y^12 + 2y^6 + 14y^6 = (y^6 + 1)^24y^6
Assim raiz1 + (tfracdxdy)^2 = y^6 + 12y^3

Passo 4

Substituindo na fórmula da área, temos
S = integral1^2 2pi y cdot y^6 + 12y^3 ,dy = pi integral1^2 y^6 + 1y^2 ,dy = pi integral1^2 (y^4 + y^-2) ,dy

Passo 5

Calculando a primitiva de y^4 + y^-2, obtemos
integral (y^4 + y^-2),dy = y^55 - 1y

Passo 6

Avaliação entre 1 e 2 dá
S = pil(2^55 - 12 - 1^55 + 1r) = 67pi10

Resposta

67pi10

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