Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
y^3=3 x, 0 <= x <= 9 em torno do eixo y .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície obtida ao girar a curva definida por y^3=3x para 0<= x<=9 em torno do eixo y. Vamos usar o conteúdo de superfícies de revolução e fórmula de área gerada pela rotação em torno do eixo y.

Passo 2

Primeiro, isolamos x em função de y. Da equação y^3=3x temos
x=y^33
Como x vai de 0 a 9, temos y^3=3ximplies y^3=27 no extremo, logo y varre de 0 a 3.

Passo 3

Para girar em torno do eixo y, a fórmula da área é
S=2pi,integraly1^y2 x,raiz1+l(dxdyr)^2,dy
Aqui x=tfracy^33 e
dxdy=y^2,
logo
raiz1+l(dxdyr)^2=raiz1+y^4
Substituindo, obtemos
S=2piintegral0^3y^33,raiz1+y^4,dy =2pi3integral0^3y^3raiz1+y^4,dy

Passo 4

Para calcular
integral0^3y^3raiz1+y^4,dy
fazemos a substituição u=1+y^4, então du=4y^3,dy, implicando y^3,dy=du/4. Quando y=0, u=1 e quando y=3, u=1+3^4=82. Assim,
$$
\int_{0}{3}y3\sqrt{1+y^4},dy
=\int_{1}^{82}\sqrt{u},\frac{du}{4}
=\frac{1}{4}\int_{1}{82}u{1/2},du
=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u{3/2}\bigr]_{1}{82}
=\frac{1}{6}\bigl(82^{3/2}-1\bigr).
$$

Passo 5

Substituindo de volta em S:
S=2pi3cdot16l(82^3/2-1r) =pi9l(82^3/2-1r) =pi9l(82raiz82-1r)

Resposta

A área da superfície de revolução é
pi9l(82raiz82-1r)

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