Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
em torno do eixo y .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da superfície obtida ao girar a curva definida por
para
em torno do eixo
. Vamos usar o conteúdo de superfícies de revolução e fórmula de área gerada pela rotação em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, isolamos
em função de
. Da equação
temos
Como
vai de 0 a 9, temos
no extremo, logo
varre de 0 a 3.
Passo 3
Para girar em torno do eixo
, a fórmula da área é
Aqui
e
logo
Substituindo, obtemos
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
$$
\int_{0}{3}y3\sqrt{1+y^4},dy
=\int_{1}^{82}\sqrt{u},\frac{du}{4}
=\frac{1}{4}\int_{1}{82}u{1/2},du
=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u{3/2}\bigr]_{1}{82}
=\frac{1}{6}\bigl(82^{3/2}-1\bigr).
=\int_{1}^{82}\sqrt{u},\frac{du}{4}
=\frac{1}{4}\int_{1}{82}u{1/2},du
=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u{3/2}\bigr]_{1}{82}
=\frac{1}{6}\bigl(82^{3/2}-1\bigr).
$$
Passo 5
Substituindo de volta em
:
Resposta
A área da superfície de revolução é