Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
aplicando o teorema de resíduos de Cauchy no contorno dado pela elipse
. Vamos usar teoria de funções de variável complexa e o teorema que diz que a integral vale
vezes a soma dos resíduos das singularidades internas ao contorno.
Passo 2
Primeiro identificamos as singularidades de
. Há pólos simples em
(da fator
) e em
(da fator
). A elipse
tem semi-eixos
em
e
em
, logo inclui
(pois
está dentro) mas não inclui
(pois
está fora).
Passo 3
Para o pólo simples em
, o resíduo é dado por
. Note que
, então
Passo 4
Para o pólo simples em
, procedemos de forma análoga:
Passo 5
Somando os resíduos internos, temos
Passo 6
Pelo teorema de resíduos de Cauchy,