Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC z(z+1)(z^2+1),dz aplicando o teorema de resíduos de Cauchy no contorno dado pela elipse 16x^2+y^2=4. Vamos usar teoria de funções de variável complexa e o teorema que diz que a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas ao contorno.

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades de f(z)=z(z+1)(z^2+1). Há pólos simples em z=-1 (da fator z+1) e em z=pm i (da fator z^2+1). A elipse 16x^2+y^2=4 tem semi-eixos a=tfrac12 em x e b=2 em y, logo inclui z=pm i (pois y=pm1 está dentro) mas não inclui z=-1 (pois x=-1 está fora).

Passo 3

Para o pólo simples em z=i, o resíduo é dado por limzto i(z-i)z(z+1)(z^2+1). Note que z^2+1=(z-i)(z+i), então
Res(f,i)=i(i+1)(i+i)=i2i(i+1)=12(i+1)=1-i4

Passo 4

Para o pólo simples em z=-i, procedemos de forma análoga:
Res(f,-i)=limzto -i(z+ i)z(z+1)(z^2+1)=-i(1-i)(-2i)=12(1-i)=1+i4

Passo 5

Somando os resíduos internos, temos
sumRes=1-i4+1+i4=24=tfrac12

Passo 6

Pelo teorema de resíduos de Cauchy,
ointC f(z),dz=2pi itimestfrac12=pi i

Resposta

pi i

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