Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC zz^4-1 d z, C:|z|=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointCzz^4-1,dz no círculo |z|=2 usando o teorema dos resíduos de Cauchy; vamos precisar localizar os polos, calcular cada resíduo e somar tudo.

Passo 2

Os polos são as raízes de z^4-1=0, ou seja zk=e^2pi i k/4 para k=0,1,2,3, o que dá 1,i,-1,-i. Todos têm módulo 1, logo estão dentro de |z|=2.

Passo 3

Cada polo é simples porque a derivada do denominador h(z)=z^4-1 é h'(z)=4z^3, que não se anula em nenhum dos polos. Para uma função f(z)=g(z)/h(z) com polo simples em z0, vale Res(f,z0)=g(z0)/h'(z0). Aqui g(z)=z.

Passo 4

Logo para cada polo z0 temos
Resl(tfraczz^4-1,z0r)=z04z0^3=14z0^2
Calculando: para z0=1 e z0=-1 vem 1/(4cdot1)=1/4; para z0=i e z0=-i vem 1/(4cdot(-1))=-1/4.

Passo 5

Somando os quatro resíduos fica
1/4+1/4-1/4-1/4=0

Passo 6

Pelo teorema dos resíduos, a integral é 2pi i vezes a soma dos resíduos, ou seja 2pi icdot0=0.

Resposta

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