Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
no círculo
usando o teorema dos resíduos de Cauchy; vamos precisar localizar os polos, calcular cada resíduo e somar tudo.
Passo 2
Os polos são as raízes de
, ou seja
para
, o que dá
. Todos têm módulo 1, logo estão dentro de
.
Passo 3
Cada polo é simples porque a derivada do denominador
é
, que não se anula em nenhum dos polos. Para uma função
com polo simples em
, vale
. Aqui
.
Passo 4
Logo para cada polo
temos
Calculando: para
e
vem
; para
e
vem
.
Passo 5
Somando os quatro resíduos fica
Passo 6
Pelo teorema dos resíduos, a integral é
vezes a soma dos resíduos, ou seja
.
Resposta
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