Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
y=23 x^32, 1 <= x <= 2 em torno do eixo y (Sugestão: Faça a substituição u=1+x )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície gerada ao rotacionar a curva y=tfrac23x^3/2, para 1<= x<=2, em torno do eixo y. O conteúdo central é área de superfície de revolução, e vamos usar a fórmula
S=integralx1^x22pi,x,ds,
onde ds=raiz1+(dydx)^2,dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y. Como y=tfrac23x^3/2, temos
dydx=tfrac23cdottfrac32x^1/2=x^1/2
Então
ds=raiz1+l(x^1/2r)^2,dx=raiz1+x,dx

Passo 3

Substituindo em S, montamos o integral
S=integral1^22pi,xraiz1+x,dx

Passo 4

Para resolver esse integral usamos a sugestão u=1+x. Então x=u-1, dx=du, e os limites viram x=1Rightarrow u=2 e x=2Rightarrow u=3. O integrando fica
xraiz1+x= (u-1),u^1/2=u^3/2-u^1/2,
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S=2piintegral2^3l(u^3/2-u^1/2r)du

Passo 5

Agora calculamos cada parte:
integral u^3/2du=25u^5/2, integral u^1/2du=23u^3/2
Portanto
S=2pil[tfrac25u^5/2-tfrac23u^3/2r]2^3 =4pil[tfracu^5/25-tfracu^3/23r]2^3

Passo 6

Basta avaliar em u=3 e u=2:
3^5/2=9raiz3, 3^3/2=3raiz3, 2^5/2=4raiz2, 2^3/2=2raiz2
Isso leva a
S=4pil(tfrac9raiz35-raiz3-tfrac4raiz25+tfrac2raiz23r) =16piraiz35-8piraiz215

Passo 7

Fizendo uma única fração, fica
S=8pi15l(6raiz3-raiz2r)

Resposta

S=16piraiz35-8piraiz215 ou, equivalente, S=8pi15(6raiz3-raiz2).

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