Em cada um dos problemas a seguir, encontre os autovalores e autovetores:
(a) Res: lambda1=4 v=binom11 v e lambda2=2 v=binom1 / 31 v
(b) y=(cc-3 & 3 / 4 -5 & 1) Res: lambda1=-2-raiz312 v=(-4-raiz3110 1) v e lambda2=-2+raiz312 v=binom-4+raiz31101 v
(c) z=(ccc1 & 0 & 0 2 & 1 & -2 3 & 2 & 1) Res: lambda1=1 v=(c1 -3 / 2 1) v, lambda2=1-2 i v=(c0 -i 1) v
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar os autovalores e autovetores de algumas matrizes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo a equação característica e depois achar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a)
Matriz dada:
Encontrando os Autovalores
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores ([\lambda)) resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade.
Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante:
Resolvendo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos:
Encontrando os Autovetores
Para cada autovalor, encontramos o autovetor resolvendo .
Para :
Resolvendo:
Da primeira equação: (v_1 = v_2]
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Para [\lambda_2 = 2):
Resolvendo:
Da primeira equação: (v_2 = 3v_1]
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Passo 3
Parte (b)
Matriz dada:
Encontrando os Autovalores
Vamos encontrar [\lambda) resolvendo:
Calculando :
Determinante:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Mas, de acordo com a resposta esperada, parece que houve um erro nos cálculos acima. Vamos revisar.
Na verdade, a equação característica correta é:
Multiplicando por 4:
Resolvendo:
Então:
Mas na resposta original, os autovalores são . Vamos verificar novamente.
Parece que houve um erro na interpretação original. A matriz dada no enunciado possui elementos fracionários que podem alterar a equação característica. Vamos refazer de forma mais cuidadosa.
Calculando novamente:
Multiplicando por 4:
Agora, usando a fórmula de Bhaskara:
Assim:
Portanto, os autovalores são e .
Encontrando os Autovetores
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Para (\lambda_2 = -\frac{1}{2}]:
Resolvendo :
Da primeira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Passo 4
Parte (c)
Matriz dada:
Encontrando os Autovalores
Vamos encontrar [\lambda) resolvendo:
Calculando :
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos expandir pela primeira coluna já que há zeros:
Calculando o determinante menor:
Então:
As soluções são:
Então, os autovalores são:
Encontrando os Autovetores
Para :
Resolvendo :
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Para (\lambda_2 = 1 + 2i]:
Resolvendo [(z - \lambda I)\mathbf{v} = 0):
Da primeira equação:
Substituindo (v_1 = 0] na segunda equação:
Escolhendo :
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Para :
Seguindo um processo similar, o autovetor será:
Resposta
Finalizando, os autovalores e autovetores das matrizes são: