Considere a função f(x, y)=raizx^2+y^2+1. Faça um estudo das curvas de nível de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo das curvas de nível da função
f(x,y)=raizx^2+y^2+1, isto é, os conjuntos
(x,y)mid f(x,y)=c para constantes c.

Passo 2

Note que raizx^2+y^2 é exatamente a distância r de (x,y) à origem. Logo
f(x,y)=r+1,
o que mostra que f é radialmente simétrica, tem domínio R^2 e imagem [1,infty).

Passo 3

Impondo f(x,y)=c, obtemos
raizx^2+y^2+1=c
raizx^2+y^2=c-1
r=c-1
Para que exista solução real, é preciso c-1>=0, ou seja, c>=1.

Passo 4

  • Se c<1, não há pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.
  • Se c=1, então r=0, e a curva de nível é o ponto (0,0).
  • Se c>1, a curva de nível é o círculo de centro (0,0) e raio c-1.

Resposta

(x,y)mid f(x,y)=c= emptyset, & c<1, (0,0), & c=1, (x,y)mid x^2+y^2=(c-1)^2, & c>1

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