Transforme as equações dadas em sistemas de equações de primeira ordem:
(a) u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0 Res: x1^prime=x2, x2^prime=-2 x1-0.5 x2
(b) t^2 u^prime prime+t u^prime+(t^2-0,25) u=0 Res: x1^prime=x2, x2^prime=-(1-14 t^2) x1-1t x2

Passo 1

O enunciado pede transformar equações diferenciais ordinárias de segunda ordem em sistemas de equações de primeira ordem. O conteúdo é a técnica de redução de ordem: introduzimos variáveis de estado para cada derivada de u, de modo a obter um sistema equivalente de primeira ordem.

Passo 2

Para a equação
u'' + 0,5,u' + 2,u = 0
definimos as variáveis de estado
x1 = u, x2 = u'
Então
x1' = u' = x2,
e isolando u'' na equação original temos
u'' = -0,5,u' - 2,u = -2,x1 - 0,5,x2
Logo
x2' = -2,x1 - 0,5,x2

Passo 3

Para a equação
t^2u'' + t,u' + l(t^2 - 0,25r)u = 0
procedemos de modo análogo, definindo
x1 = u, x2 = u'
Então
x1' = x2
Isolando u'' obtemos
u'' = -t,u' + (t^2-0,25),ut^2 = -1t,u' - l(1 - 14t^2r),u
Portanto
x2' = -l(1-14t^2r)x1 - 1t,x2

Resposta

(a)
x1' = x2, x2' = -2,x1 - 0,5,x2
(b)
x1' = x2, x2' = -l(1 - 14t^2r)x1 - 1t,x2

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