Em cada um dos problemas a seguir, encontre a solução única ou mostre que ela não existe:
lx1+2 x2-x3=2 2 x1+x2+x3=1 x1-x2+2 x3=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x1+2x2-x3=2, 2x1+x2+x3=1, x1-x2+2x3=-1
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares em 3times3, usando determinante para verificar unicidade da solução e, se precisar, eliminação para obter uma solução geral.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -1 2 & 1 & 1 1 & -1 & 2
e calculamos seu determinante. Usando a regra de Sarrus ou cofatores,
det(A) =1,(1cdot2 - 1cdot(-1)) -2,(2cdot2 - 1cdot1) +(-1),(2cdot(-1)-1cdot1)

Passo 3

Calculando cada termo:
1,(2+1)=3, -2,(4-1)=-6, -1,(-2-1)=3,
logo
det(A)=3-6+3=0
Como det(A)=0, não há solução única; ou não existe solução, ou há infinitas soluções.

Passo 4

Para decidir se há soluções, fazemos eliminação ou combinação linear das equações. Somando a primeira e a segunda equação:
(x1+2x2-x3)+(2x1+x2+x3) =2+1 ;Longrightarrow; 3x1+3x2=3 ;Longrightarrow; x1+x2=1
Chame isso de (4).

Passo 5

A partir de (4), temos x2=1-x1. Usando isso em qualquer das equações originais (por exemplo a primeira) e resolvendo para x3:
x1+2(1-x1)-x3=2 ;Longrightarrow; x1+2-2x1-x3=2 ;Longrightarrow; -x1-x3=0 ;Longrightarrow; x3=-x1
Verifica-se que a segunda e a terceira equações ficam idênticas a essa condição, logo o sistema é consistente e depende de um parâmetro.

Resposta

O sistema não tem solução única, mas infinitas soluções, dadas por
(x1,x2,x3)=l(t,;1 - t,;-tr), tinR

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