Em cada um dos problemas a seguir, encontre a transformada de Laplace de cada função dada:
f(t):cc0, & t<2 (t-2)^2, & t >= 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)= 0, & t<2, (t-2)^2, & t>=2,
e pede a transformada de Laplace
F(s)=Lf(t)(s).
O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Pela definição de transformada de Laplace,
F(s) =integral0^inftye^-stf(t),dt =integral2^inftye^-st(t-2)^2,dt

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável u=t-2, logo t=u+2 e dt=du. Quando t=2 temos u=0 e, quando ttoinfty, utoinfty. Assim,
F(s) =integral0^inftye^-s(u+2),u^2,du =e^-2sintegral0^inftyu^2e^-su,du

Passo 4

Reconhecemos que
integral0^inftyu^2e^-su,du =2!s^3 =2s^3
Logo
F(s) =e^-2s,2s^3

Resposta

F(s)=2e^-2ss^3

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