Em cada um dos problemas a seguir, encontre a transformada de Laplace de cada função dada:
f(t):cc0, & t<pi t-pi, & pi<<= t<2 pi 0, & t >= 2 pi.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= 0, & t<pi, t-pi, & pi<= t<2pi, 0, & t>=2pi,
e pede a transformada de Laplace
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Aqui só há contribuição no intervalo pi<= t<2pi.

Passo 2

Aplicamos a definição e restringimos o domínio:
Lf(s) =integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integralpi^2pi(t-pi)e^-st,dt
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
u=t-pi, t=u+pi, dt=du,
de modo que u vai de 0 a pi. Então
integralpi^2pi(t-pi)e^-st,dt =e^-spiintegral0^piu,e^-su,du

Passo 3

Calculamos integral0^piu,e^-su,du por integração por partes, com
A=u, dB=e^-sudu Longrightarrow dA=du, B=-1se^-su
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integral u,e^-sudu =AB-integral B,dA =-use^-su+1sintegral e^-sudu =-use^-su-1s^2e^-su
Avaliaremos de 0 a pi:
integral0^piu,e^-sudu =l[-use^-su-1s^2e^-sur]0^pi =-l(pis+1s^2r)e^-spi+1s^2

Passo 4

Voltando à transformada e multiplicando por e^-spi:
Lf(s) =e^-spigl(-l(pis+1s^2r)e^-spi+1s^2gr) =e^-spis^2-l(pis+1s^2r)e^-2spi

Resposta

boxed Lf(s) =e^-spis^2 -l(pis+1s^2r)e^-2spi

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