(a) (1,0 ponto) Seja uma função diferenciável. Prove que a funçãosatisfaz a igualdade:, ou seja,.
(b) (1,0 ponto) A mudança de variáveis: , transforma a função de classe na função .
(c) (1,0 ponto) Sendo prove que fazendo a mudança , onde a equação acima se transforma em .
(i) Calcule em função das derivadas de (admita a igualdade das derivadas parciais mistas).
(ii) Se , para todo e , determine as constantes e de modo que
Passo 1
O enunciado trata de três tópicos de cálculo em várias variáveis e mudança de variáveis em PDE:
(a) existe u(x,y,z)=f!l(tfracxy,tfracxzr) em Bbb R^3 e pede-se provar que
x,ux+y,uy+z,uz=0
(b) define-se uma mudança l(x(u,v),y(u,v)r)=(uv,tfracu^2-v^22) e quer-se ver que g(u,v)=fl(x(u,v),y(u,v)r) é C^2.
(c) parte 1 transforma a PDE
zxx+2,zxy+zyy=0
pela mudança
u=x+y, v=x-y, w=xy-z(x,y)
e mostra que wuu=tfrac12. Parte 2 pede (i) calcular gu,gv,guv para
g(u,v)=f!l(uv,tfracu^2-v^22r),
e (ii) achar constantes a,b tais que, se |nabla f|^2=2, valha
a,(gu)^2-b,(gv)^2 = u^2+v^2
Passo 2
Prova de x,ux+y,uy+z,uz=0.
Defina
u(x,y,z)=f!l(p,qr), p=xy, q=xz
Pelo teorema da cadeia,
ux = fp,partial ppartial x + fq,partial qpartial x = fpcdot1y + fqcdot1z,
uy = fp,partial ppartial y + fq,partial qpartial y = fpcdotl(-xy^2r) + fqcdot 0,
uz = fpcdot 0 + fq,partial qpartial z = fqcdotl(-xz^2r)