(a) (1,0 ponto) Seja uma função diferenciável. Prove que a funçãosatisfaz a igualdade: , ou seja, .
(b) (1,0 ponto) A mudança de variáveis: , transforma a função de classe na função .
(c) (1,0 ponto) Sendo prove que fazendo a mudança , onde a equação acima se transforma em .
(i) Calcule em função das derivadas de (admita a igualdade das derivadas parciais mistas).
(ii) Se , para todo e , determine as constantes e de modo que

Passo 1

O enunciado trata de três tópicos de cálculo em várias variáveis e mudança de variáveis em PDE:
  • (a) existe u(x,y,z)=f!l(tfracxy,tfracxzr) em Bbb R^3 e pede-se provar que
x,ux+y,uy+z,uz=0
  • (b) define-se uma mudança l(x(u,v),y(u,v)r)=(uv,tfracu^2-v^22) e quer-se ver que g(u,v)=fl(x(u,v),y(u,v)r) é C^2.
  • (c) parte 1 transforma a PDE
zxx+2,zxy+zyy=0
pela mudança
u=x+y, v=x-y, w=xy-z(x,y)
e mostra que wuu=tfrac12. Parte 2 pede (i) calcular gu,gv,guv para
g(u,v)=f!l(uv,tfracu^2-v^22r),
e (ii) achar constantes a,b tais que, se |nabla f|^2=2, valha
a,(gu)^2-b,(gv)^2 = u^2+v^2

Passo 2

Prova de x,ux+y,uy+z,uz=0.
Defina
u(x,y,z)=f!l(p,qr), p=xy, q=xz
Pelo teorema da cadeia,
ux = fp,partial ppartial x + fq,partial qpartial x = fpcdot1y + fqcdot1z,
uy = fp,partial ppartial y + fq,partial qpartial y = fpcdotl(-xy^2r) + fqcdot 0,
uz = fpcdot 0 + fq,partial qpartial z = fqcdotl(-xz^2r)
Multiplicando e somando:
x,ux = xl(fpy+fqzr), y,uy = yl(-x,fpy^2r)=-x,fpy, z,uz = zl(-x,fqz^2r)=-x,fqz
Logo
x,ux+y,uy+z,uz = xl(tfracfpy+tfracfqzr) -tfracx,fpy-tfracx,fqz =0

Passo 3

Mudança de variáveis em funções de classe C^2.
Se fcolonBbb R^2toBbb R é C^2 e definimos
x=uv, y=u^2-v^22, g(u,v)=f!l(uv,tfracu^2-v^22r),
então g é composição de funções C^2, logo gin C^2(Bbb R^2).

Passo 4

Transformação da PDE
zxx+2zxy+zyy=0
para variáveis
u=x+y, v=x-y
Note que
partialpartial x = partial upartial xpartialpartial u +partial vpartial xpartialpartial v =partialu + partialv,
partialpartial y = partialu - partialv
Então
zxx+2zxy+zyy =(partialu+partialv)^2 z +2(partialu+partialv)(partialu-partialv)z +(partialu-partialv)^2z =4,zuu=0,
ou seja zuu=0. Agora defina
w(u,v)=xy-z(x,y)
Como
x=u+v2, y=u-v2 ;Longrightarrow; xy=u^2-v^24,
temos
wuu = (xy)uu - zuu = partial^2partial u^2l(tfracu^2-v^24r) - 0 = 12

Passo 5

Cálculo de derivadas de
g(u,v)=f!l(A,Br), A=uv,;B=tfracu^2-v^22
Pela cadeia,
gu = fx,Au + fy,Bu = fx,v + fy,u,
gv = fx,Av + fy,Bv = fx,u - fy,v,
e
guv =partialpartial v(fx,v +fy,u) =(fxxAv +fxyBv),v +fx +(fyxAv+fyyBv),u
Como Av=u e Bv=-v, fica
guv = (fxx,u - fxy,v),v + fx + (fxy,u - fyy,v),u

Passo 6

Determinação de a,b tal que, sob |nabla f|^2=fx^2+fy^2=2,
a,(gu)^2 - b,(gv)^2 = u^2+v^2
Escrevendo
gu^2 = (v fx +u fy)^2, gv^2 = (u fx -v fy)^2,
temos
a,gu^2 - b,gv^2 = (a v^2 - b u^2)fx^2 + (a u^2 - b v^2)fy^2 +2uv(a+b),fxfy
Para ser igual a u^2+v^2 independentemente de fx,fy com fx^2+fy^2=2, exige-se
a+b=0, a,v^2 - b,u^2 = a(u^2+v^2)
e então
a(u^2+v^2)(fx^2+fy^2) =2a(u^2+v^2)stackrel!=u^2+v^2 ;Longrightarrow;2a=1
Portanto
a=12, b=-12

Resposta

(a) Válida a igualdade x,ux+y,uy+z,uz=0 pelo cálculo da cadeia.
(b) A composição
g(u,v)=f!l(uv,tfracu^2-v^22r)
é de classe C^2.
(c) Pela mudança u=x+y,;v=x-y,;w=xy-z a PDE vira wuu=tfrac12.
(i)
gu = v fx +u fy, gv = u fx -v fy,
guv=(fxx,u - fxy,v),v + fx + (fxy,u - fyy,v),u
(ii) Com |nabla f|^2=2 obtém-se
a=tfrac12, b=-tfrac12

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