Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido delimitado pelo cilindro x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1. Vamos usar integral tripla, projetar a região no plano xy e depois integrar em z.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) na projeção no plano xy, a coordenada z varia de baixo para cima entre o plano inferior z=0 e o plano superior x+z=1, isto é,
0 <= z <= 1 - x

Passo 3

A projeção no plano xy vem da condição de existir z>=0 tal que x+z=1, ou seja x<=1, e do cilindro x=y^2, que determina a fronteira lateral. Logo a região projetada é
(x,y)mid y^2 <= x <= 1,;-1<= y<=1

Passo 4

Escrevemos então o volume como
V = integral triplaR dV = integraly=-1^1integralx=y^2^1integralz=0^1-x dz,dx,dy
Integramos primeiro em z:
integralz=0^1-x dz = 1 - x,
ficando
V = integraly=-1^1integralx=y^2^1 (1-x),dx,dy

Passo 5

Agora calculamos a integral em x:
integralx=y^2^1 (1 - x),dx = l[x - tfracx^22r]x=y^2^1 = l(1 - tfrac12r) - l(y^2 - tfracy^42r) = tfrac12 - y^2 + tfracy^42
Assim
V = integraly=-1^1l(tfrac12 - y^2 + tfracy^42r)dy

Passo 6

A função é par, então
V = 2integral0^1l(tfrac12 - y^2 + tfracy^42r)dy = 2l[tfrac12,y - tfracy^33 + tfracy^510r]0^1 = 2l(tfrac12 - tfrac13 + tfrac110r) = tfrac815

Resposta

O volume do sólido é tfrac815.

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