Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
O sólido delimitado pelo cilindro
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar integral tripla, projetar a região no plano
e depois integrar em
.
Passo 2
Para cada ponto
na projeção no plano
, a coordenada
varia de baixo para cima entre o plano inferior
e o plano superior
, isto é,
Passo 3
A projeção no plano
vem da condição de existir
tal que
, ou seja
, e do cilindro
, que determina a fronteira lateral. Logo a região projetada é
Passo 4
Escrevemos então o volume como
Integramos primeiro em
:
ficando
Passo 5
Agora calculamos a integral em
:
Assim
Passo 6
A função é par, então
Resposta
O volume do sólido é
.