Questão 7 Suponha que f satisfaça f(t+T)=f(t) para todo t >= 0 e para algum T>0, ou seja, f é periódica de período T. Mostre que
Lf(t)=integral0^T e^-s t d t1-e^-s T

Passo 1

O enunciado diz que f é periódica de período T>0, ou seja,
f(t+T)=f(t)forall t>=0,
e pede para mostrar que a transformada de Laplace de f, definida por
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-s tf(t),dt,
pode ser escrita em função de uma integral só de 0 a T. Vamos usar a definição de transformada de Laplace, a periodicidade de f e a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Escrevemos a transformada como integral imprópria e dividimos o domínio em blocos de comprimento T:
Lf(s) =integral0^inftye^-s tf(t),dt =sumn=0^inftyintegralnT^(n+1)Te^-s tf(t),dt

Passo 3

Em cada integral do somatório, fazemos a mudança de variável
u=t-nT. Então quando t varia de nT a (n+1)T, u varia de 0 a T. Além disso
t = u + nT, e^-s t=e^-s(u+nT)=e^-s u,e^-s nT,
e pela periodicidade f(t)=f(u+nT)=f(u). Logo
integralnT^(n+1)Te^-s tf(t),dt =integral0^Te^-s(u+nT)f(u),du =e^-s nTintegral0^Te^-s uf(u),du

Passo 4

Substituindo de volta no somatório da transformada, obtemos
Lf(s) =sumn=0^inftye^-s nT,integral0^Te^-s uf(u),du =l(integral0^Te^-s uf(u),dur); sumn=0^inftyl(e^-s Tr)^n
Aqui aparece a soma de uma série geométrica de razão e^-sT.

Passo 5

Como para Re(s)>0 temos |e^-sT|<1, a soma da série geométrica é
sumn=0^inftyl(e^-sTr)^n =11-e^-sT
Portanto
Lf(s) = integral0^Te^-s tf(t),dt1-e^-sT

Resposta

boxedLf(t)(s) = integral0^Te^-s tf(t),dt1-e^-sT

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