Questão 7 Suponha que
satisfaça
para todo
e para algum
, ou seja,
é periódica de período
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é periódica de período
, ou seja,
e pede para mostrar que a transformada de Laplace de
, definida por
pode ser escrita em função de uma integral só de
a
. Vamos usar a definição de transformada de Laplace, a periodicidade de
e a soma de uma série geométrica.
Passo 2
Escrevemos a transformada como integral imprópria e dividimos o domínio em blocos de comprimento
:
Passo 3
Em cada integral do somatório, fazemos a mudança de variável
. Então quando
varia de
a
,
varia de
a
. Além disso
e pela periodicidade
. Logo
Passo 4
Substituindo de volta no somatório da transformada, obtemos
Aqui aparece a soma de uma série geométrica de razão
.
Passo 5
Como para
temos
, a soma da série geométrica é
Portanto