Verifique que a função dada é uma solução explícita da equação diferencial ordinária em questão.
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=0 ; y(x)=x^-2 ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^2y''+5x,y'+4y=0
e propõe a solução candidata
y(x)=x^-2ln(x)
Para verificar, vamos calcular y' e y'' e substituir na equação, mostrando que o lado esquerdo fica zero.

Passo 2

Calcular a primeira derivada. Usando regra do produto em
y(x)=x^-2ln(x),
temos
y' = ddxl(x^-2r),ln(x) + x^-2,ddx(ln(x)) = (-2x^-3)ln(x) + x^-2,1x = x^-3l(1-2ln(x)r)

Passo 3

Calcular a segunda derivada. Partindo de
y' = x^-3(1-2ln(x)),
aplicamos novamente regra do produto:
y'' = ddxl(x^-3r),(1-2ln(x)) + x^-3,ddxl(1-2ln(x)r) = (-3x^-4)(1-2ln(x)) + x^-3l(-2cdottfrac1xr)
Logo
y'' = -3x^-4(1-2ln(x)) -2x^-4 = x^-4l(-3 +6ln(x)-2r) = x^-4l(6ln(x)-5r)

Passo 4

Substituir y, y' e y'' em x^2y''+5x,y'+4y:
x^2y'' = x^2cdot x^-4(6ln(x)-5)=x^-2(6ln(x)-5),
5x,y' =5xcdot x^-3(1-2ln(x))=5x^-2(1-2ln(x)),
4y =4cdot x^-2ln(x)=4x^-2ln(x)
Somando tudo sob o fator comum x^-2:
x^2y''+5x,y'+4y =x^-2l[(6ln(x)-5)+5(1-2ln(x))+4ln(x)r]
Dentro dos colchetes:
6ln(x)-5 +5 -10ln(x)+4ln(x) = (6-10+4)ln(x) +(-5+5) =0
Logo
x^2y''+5x,y'+4y = x^-2cdot0 =0

Resposta

A função y(x)=x^-2ln(x) satisfaz
x^2y''+5x,y'+4y=0,
portanto é solução da equação dada.

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