Em cada um dos problemas a seguir, uma equação diferencial não homogênea, uma solução complementar yc e uma solução particular yp são dadas. Encontre uma solução satisfazendo as condições iniciais dadas.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=6 ; y(0)=3, y^prime(0)=11 ; yc=c1 e^-x+c2 e^3 x ; yp=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
y'' - 2y' - 3y = 6
com condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=11. Já têm a solução complementar
yc = c1e^-x + c2e^3x
e uma solução particular yp=-2. Nosso objetivo é achar os constantes c1 e c2 usando as condições iniciais e escrever a solução completa.

Passo 2

A solução geral é
y = yc + yp = c1e^-x + c2e^3x - 2

Passo 3

Calculamos y(0) e y'(0):
y(0) = c1 + c2 - 2 overset!= 3 ;Longrightarrow; c1 + c2 = 5
Para y', temos
y' = -c1e^-x + 3c2e^3x,
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y'(0) = -c1 + 3c2 overset!= 11 ;Longrightarrow; -c1 + 3c2 = 11

Passo 4

Resolvendo o sistema
c1 + c2 = 5, -,c1 + 3c2 = 11,
somando as duas equações vem
4c2 = 16 ;Longrightarrow; c2 = 4 e c1 = 5 - c2 = 1

Passo 5

Substituindo c1=1 e c2=4 na solução geral, obtemos
y = e^-x + 4e^3x - 2

Resposta

y(x) = e^-x + 4e^3x - 2

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