Use o método de cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido obtido ao rotar a região definida pelas curvas dadas ao redor da reta dada
; ao redor de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta vertical
. Como o eixo de rotação é vertical, vamos usar o método de cascas cilíndricas com tiras verticais de espessura
. Precisamos determinar, em função de
:
– os limites de integração;
– a altura de cada casca ;
– o raio de cada casca .
– os limites de integração;
– a altura de cada casca
– o raio de cada casca
Passo 2
Primeiro encontramos onde as curvas se interceptam. Escrevendo ambas em função de
:
Igualando
obtemos
, ou seja
e
. Nessas mesmas ordens,
vale
e
. Logo, as tiras verticais variam em
de
até
.
Passo 3
Para cada valor de
, a tira vertical tem altura igual à diferença das ordens
, onde
Portanto
Passo 4
O raio da casca cilíndrica é a distância horizontal do ponto
até o eixo
, isto é
O volume de cada casca é
. Assim, o volume total é
Passo 5
Vamos expandir o integrando:
Logo
Passo 6
Integramos termo a termo:
Somando:
Passo 7
Finalmente,