Use o método de cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido obtido ao rotar a região definida pelas curvas dadas ao redor da reta dada
y=raizx, x=2 y; ao redor de x=5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=raizx e x=2y em torno da reta vertical x=5. Como o eixo de rotação é vertical, vamos usar o método de cascas cilíndricas com tiras verticais de espessura dx. Precisamos determinar, em função de x:
– os limites de integração;
– a altura de cada casca h(x);
– o raio de cada casca r(x).

Passo 2

Primeiro encontramos onde as curvas se interceptam. Escrevendo ambas em função de y:
x = y^2 e x = 2y
Igualando y^2 = 2y obtemos y(y-2)=0, ou seja y=0 e y=2. Nessas mesmas ordens, x=y^2 vale x=0 e x=4. Logo, as tiras verticais variam em x de 0 até 4.

Passo 3

Para cada valor de xin[0,4], a tira vertical tem altura igual à diferença das ordens ytopo-yfundo, onde
ytopo = raizx, yfundo = x2
Portanto
h(x)=raizx-x2

Passo 4

O raio da casca cilíndrica é a distância horizontal do ponto x até o eixo x=5, isto é
r(x)=5 - x
O volume de cada casca é dV = 2pi,r(x),h(x),dx. Assim, o volume total é
V = 2pi integralx=0^4 l(5 - xr)l(raizx-tfracx2r),dx

Passo 5

Vamos expandir o integrando:
(5 - x)l(x^1/2-tfracx2r) =5x^1/2-tfrac52x - x^3/2 + tfrac12x^2
Logo
V = 2pi integral0^4 l(5x^1/2- x^3/2 - tfrac52x + tfrac12 x^2r)dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral0^45x^1/2dx =5cdottfrac23x^3/2|0^4 =tfrac103cdot8 =tfrac803,
integral0^4-x^3/2dx =-tfrac25x^5/2|0^4 =-tfrac25cdot32 =-tfrac645,
integral0^4-tfrac52x,dx =-tfrac52cdottfracx^22|0^4 =-tfrac54cdot16 =-20,
integral0^4tfrac12 x^2,dx =tfrac12cdottfracx^33|0^4 =tfrac16cdot64 =tfrac323
Somando:
integral0^4!l(dotsr)dx =tfrac803-tfrac645-20+tfrac323 =tfrac1123-tfrac645-20 =tfrac6815

Passo 7

Finalmente,
V = 2pi cdot 6815 =136pi15

Resposta

V = 136pi15

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