Prove diretamente que as funções
ef
são, em toda a reta real, linearmente independentes. (Sugestão: Assuma que
. Diferencie esta equação duas vezes. Você tem agora três equações que devem ser satisfeitas para qualquer x , incluindo
. Conclua que
.)
Passo 1
Queremos mostrar que as funções
,
e
são linearmente independentes em
. Por definição, isso significa que, se uma combinação linear
vale para todo
, então os coeficientes
devem ser todos nulos. A estratégia sugerida é assumir essa identidade e diferenciá-la duas vezes, obtendo três equações que valem para qualquer
.
Passo 2
Assumimos que existe uma combinação linear que se anula identicamente:
Passo 3
Diferenciando em relação a
obtemos
e diferenciando de novo,
Passo 4
Da terceira equação vem imediatamente
Substituindo
na segunda equação e avaliando em
segue
Por fim, inserindo
e
na equação original em
concluímos
Resposta
Os únicos coeficientes que satisfazem
são
. Logo,
são linearmente independentes em
.