Prove diretamente que as funções f1(x) equiv 1, f2(x)=x ef f3(x)=x^2 são, em toda a reta real, linearmente independentes. (Sugestão: Assuma que c1+c2 x+c3 x^2=0. Diferencie esta equação duas vezes. Você tem agora três equações que devem ser satisfeitas para qualquer x , incluindo x=0. Conclua que C1=C2=C3=0.)

Passo 1

Queremos mostrar que as funções f1(x)=1, f2(x)=x e f3(x)=x^2 são linearmente independentes em R. Por definição, isso significa que, se uma combinação linear
c1f1(x)+c2f2(x)+c3f3(x)=0
vale para todo x, então os coeficientes c1,c2,c3 devem ser todos nulos. A estratégia sugerida é assumir essa identidade e diferenciá-la duas vezes, obtendo três equações que valem para qualquer x.

Passo 2

Assumimos que existe uma combinação linear que se anula identicamente:
c1+c2x+c3x^2=0, forall xinR

Passo 3

Diferenciando em relação a x obtemos
c2+2c3x=0, forall xinR,
e diferenciando de novo,
2c3=0, forall xinR

Passo 4

Da terceira equação vem imediatamente
c3=0
Substituindo c3=0 na segunda equação e avaliando em x=0 segue
c2=0
Por fim, inserindo c2=0 e c3=0 na equação original em x=0 concluímos
c1=0

Resposta

Os únicos coeficientes que satisfazem
c1+c2x+c3x^2=0forall x
são c1=c2=c3=0. Logo, f1,f2,f3 são linearmente independentes em R.

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