Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
x=y^2 e x=25

Passo 1

O problema pede para desenhar a região limitada pelas curvas x=y^2 (uma parábola horizontal abrindo para a direita) e x=25 (uma reta vertical) e calcular sua área. O conteúdo aqui é área de região em coordenadas cartesianas, e vamos usar integração de uma função de y.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as duas curvas se interceptam, resolvendo y^2=25. Assim temos
y^2=25
Logo
y=pm5
Isso diz que a região varia em y de -5 até +5.

Passo 3

Para cada valor de y nesse intervalo, a distância horizontal entre a reta x=25 e a parábola x=y^2 é
De

Passo 4

Então a área da região é dada pela integral
A=integraly=-5^y=5 (25 - y^2),dy

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral (25 - y^2),dy = 25y - y^33

Passo 6

Aplicando os limites de -5 a +5:
A = l(25y - tfracy^33r)|-5^5 = l(25cdot5 - tfrac5^33r) - l(25cdot(-5) - tfrac(-5)^33r)

Passo 7

Calculando cada termo:
25cdot5 =125, tfrac5^33=tfrac1253, 25cdot(-5)=-125, tfrac(-5)^33=-tfrac1253

Passo 8

Então
A = l(125 - tfrac1253r) - l(-125 + tfrac1253r) = l(tfrac375-1253r) - l(-tfrac375-1253r) = tfrac2503 - (-tfrac2503) = tfrac5003

Resposta

dfrac5003

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