Desenhe o mapa de contornos das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o mapa de contornos (curvas de nível) da função f(x,y)=x+yx-y. O conteúdo é curvas de nível de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição f(x,y)=c.

Passo 2

Começamos igualando f(x,y) a uma constante c:
x+yx-y=c
Multiplicamos em cruz para eliminar o denominador.

Passo 3

Ao expandir obtemos x+y=cx-cy. Reagrupando termos temos x - cx + y + cy = 0 ou seja x(1-c) + y(1+c)=0

Passo 4

Para cneq -1 e cneq1 isolamos y:
y=c-1c+1,x
Isso mostra que cada nível c é uma reta passando pela origem com inclinação (m=\frac{c-1}{c+1}.]

Passo 5

Nos casos especiais, se c=1 o coeficiente de x em x(1-c)+y(1+c)=0 anula e sobra 2y=0, isto é y=0 (eixo dos x). Se c=-1 sobra 2x=0, isto é x=0 (eixo dos y).

Passo 6

No esboço do mapa de contornos, basta traçar várias retas y=tfracc-1c+1x para valores de c (por exemplo c=0,,tfrac12,,2,,-!1,,1). Assim obtemos um feixe de retas que cobre todo o plano exceto a diagonal x=y.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x+yx-y são as retas
y=c-1c+1,x,
para cada constante cneqpm1, além dos casos especiais c=1 (reta y=0) e c=-1 (reta x=0).

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