Desenhe o mapa de contornos das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o mapa de contornos (as curvas de nível) da função f(x,y)=xy. Vamos precisar lembrar que, para uma função de duas variáveis, a curva de nível de valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

A primeira etapa da resolução é encontrar a equação geral das curvas de nível. Queremos f(x,y)=c, ou seja,
xy=c
Isolando x, temos
x=c,y
Portanto cada curva de nível é uma reta que passa pela origem, de equação x=c,y.

Passo 3

Antes de desenhar, é importante notar o domínio de f: como não podemos dividir por zero, devemos ter yneq0. Assim as curvas de nível só existem fora da reta y=0.

Passo 4

Agora escolhemos alguns valores de nível c para ilustrar o mapa de contornos. Por exemplo, c=-2,-1,0,1,2.
Para c=-2 a reta é x=-2y; para c=-1 é x=-y; para c=0 é x=0 (eixo y); para c=1 é x=y; para c=2 é x=2y. Basta desenhar essas retas no plano (x,y).

Passo 5

O mapa de contornos resultante é, portanto, um feixe de retas todas passando pela origem, cada uma com inclinação diferente, representando níveis crescentes c. Quanto maior |c|, mais “vertical” fica a reta (pois y=tfracxc tem declive menor).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=tfracxy são as retas de equação x=c,y para vários valores de c. Num esboço, basta desenhar, por exemplo, as retas x=-2y, x=-y, x=0, x=y, x=2y (com yneq0). Essas retas formam o mapa de contornos, mostrando o feixe de linhas que representam os níveis da função.

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