Desenhe o mapa de contornos das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o mapa de contornos (as curvas de nível) da função
. Vamos precisar lembrar que, para uma função de duas variáveis, a curva de nível de valor
é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
A primeira etapa da resolução é encontrar a equação geral das curvas de nível. Queremos
, ou seja,
Isolando
, temos
Portanto cada curva de nível é uma reta que passa pela origem, de equação
.
Passo 3
Antes de desenhar, é importante notar o domínio de
: como não podemos dividir por zero, devemos ter
. Assim as curvas de nível só existem fora da reta
.
Passo 4
Agora escolhemos alguns valores de nível
para ilustrar o mapa de contornos. Por exemplo,
.
Para a reta é
; para
é
; para
é
(eixo
); para
é
; para
é
. Basta desenhar essas retas no plano
.
Para
Passo 5
O mapa de contornos resultante é, portanto, um feixe de retas todas passando pela origem, cada uma com inclinação diferente, representando níveis crescentes
. Quanto maior
, mais “vertical” fica a reta (pois
tem declive menor).
Resposta
As curvas de nível de
são as retas de equação
para vários valores de
. Num esboço, basta desenhar, por exemplo, as retas
,
,
,
,
(com
). Essas retas formam o mapa de contornos, mostrando o feixe de linhas que representam os níveis da função.