Dado
, a equação diferencial
é chamada Equação de Bessel de ordem
.
Se
mostre que
é solução.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no caso α=1, a função
é solução da equação de Bessel de ordem 1
Vamos usar o método de Frobenius (série de potências) para construir a solução.
Passo 2
Começamos supondo uma solução em série do tipo
Aqui precisamos encontrar o expoente inicial r usando a equação indicial.
Passo 3
Substituindo a série em
e olhando apenas para os termos de menor potência de x, obtemos a equação indicial
Para ter uma solução regular na origem escolhemos
Passo 4
Agora derivamos a série e encontramos a relação de recorrência. Substituindo
em cada termo da equação diferencial e igualando coeficientes de
a zero, obtemos
Passo 5
Escolhendo
e
(para termos só potências ímpares), vemos que todos os coeficientes pares diferentes de zero são dados por
e
Passo 6
Assim a solução fica
o que é exatamente a série indicada.
Passo 7
Como essa série satisfaz a relação de recorrência obtida e faz todos os termos da equação diferencial se cancelarem, concluímos que ela de fato resolve a equação de Bessel de ordem 1.
Resposta
A função
satisfaz a equação
quando α=1, portanto é solução conforme pedido.