Dado alpha in R, a equação diferencial
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-alpha^2) y=0
é chamada Equação de Bessel de ordem alpha.
Se alpha=1 mostre que é solução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no caso α=1, a função
y=xl(1-x^22^2,2!+x^42^4,2!,3!-x^62^6,2!,3!,4!+cdotsr)
é solução da equação de Bessel de ordem 1
x^2y''+x y'+(x^2-1)y=0
Vamos usar o método de Frobenius (série de potências) para construir a solução.

Passo 2

Começamos supondo uma solução em série do tipo
y=sumk=0^inftyakx^k+r
Aqui precisamos encontrar o expoente inicial r usando a equação indicial.

Passo 3

Substituindo a série em x^2y''+x y'+(x^2-1)y=0 e olhando apenas para os termos de menor potência de x, obtemos a equação indicial
r(r-1)+r-1=0Longrightarrow r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Para ter uma solução regular na origem escolhemos r=1.

Passo 4

Agora derivamos a série e encontramos a relação de recorrência. Substituindo y=sum akx^k+1 em cada termo da equação diferencial e igualando coeficientes de x^k+1 a zero, obtemos
ak+2=-ak(k+2)(k+1)(k>=0)

Passo 5

Escolhendo a0=1 e a1=0 (para termos só potências ímpares), vemos que todos os coeficientes pares diferentes de zero são dados por
a2m=(-1)^m12^2m,m!,(m+1)!,
e a2m+1=0.

Passo 6

Assim a solução fica
y=summ=0^inftya2mx^2m+1 =summ=0^infty(-1)^mx^2m+12^2m,m!,(m+1)!,
o que é exatamente a série indicada.

Passo 7

Como essa série satisfaz a relação de recorrência obtida e faz todos os termos da equação diferencial se cancelarem, concluímos que ela de fato resolve a equação de Bessel de ordem 1.

Resposta

A função
y=xl(1-x^22^2,2!+x^42^4,2!,3!-x^62^6,2!,3!,4!+cdotsr)
satisfaz a equação
x^2y''+x y'+(x^2-1)y=0
quando α=1, portanto é solução conforme pedido.

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