Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
x=y^2 e x=32-y^2

Passo 1

Temos as curvas x=y^2 e x=32-y^2. A missão é esboçar a região limitada por elas e calcular sua área. Esse problema envolve o conceito de área entre curvas em coordenadas cartesianas: vamos precisar achar onde elas se cruzam, identificar qual fica à direita e qual fica à esquerda e depois usar a fórmula de área A=integral (xdireita-xesquerda),dy.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões de x:
y^2 = 32 - y^2
Isso leva a 2y^2=32, ou seja y^2=16 e portanto y=pm4. Substituindo em x=y^2, vem x=16. Logo os pontos de cruzamento são (16,4) e (16,-4).

Passo 3

Entre y=-4 e y=4, a curva x=y^2 está mais à esquerda e x=32-y^2 mais à direita. Assim a área A é
A = integral-4^4 l[(32 - y^2) - (y^2)r],dy = integral-4^4 (32 - 2y^2),dy

Passo 4

Para calcular essa integral, achamos uma primitiva de 32 - 2y^2. Uma boa escolha é
F(y)=32y - 2y^33
Avaliando de -4 a 4:
F(4)=32cdot4 - 2cdot4^33=128 - 1283=2563
F(-4)=32cdot(-4) - 2,(-4)^33=-128 + 1283=-2563
Logo
A = F(4)-F(-4)=2563-l(-2563r)=5123

Resposta

A área da região é tfrac5123 unidades de área.

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