Dado alpha in R, a equação diferencial
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
é chamada Equação de Legendre de ordem alpha. Mostre que as funçães
y1=1+summ=1^infty(-1)^m alpha(alpha-2)(alpha-4) ldots(alpha-2 m+2)(alpha+1)(alpha+3) ldots(alpha+2 m-1)(2 m)! x^2 m y2=x+summ=1^infty(-1)^m (alpha-1)(alpha-3) ldots(alpha-2 m+1)(alpha+2)(alpha+4) ldots(alpha+2 m)(2 m+1)! x^2 m+1
são soluçÔes linearmente independentes da equação de Legendre no intervalo (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de Legendre de ordem alpha,
(1 - x^2)y'' - 2x y' + alpha(alpha+1)y = 0,
admite duas soluções em séries de potências em (-1,1), uma par e outra ímpar, dadas por y1 e y2. Vamos usar o método da série de potências para encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes e, a partir daí, construir cada solução.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
então
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2
Substituindo na equação de Legendre e igualando coeficientes de x^m a zero, obtemos a relação de recorrência
(m+2)(m+1)am+2 - l[m(m+1)-alpha(alpha+1)r]am = 0,
ou seja
am+2=m(m+1)-alpha(alpha+1)(m+2)(m+1);am

Passo 3

Para construir a solução par ( y1) tomamos a1=0 e a0=1. Assim, apenas os termos de índice 2m são não nulos e satisfazem
a2m=(-1)^m,alpha(alpha-2)cdots(alpha-2m+2);,(alpha+1)(alpha+3)cdots(alpha+2m-1)(2m)!
Para a solução ímpar ( y2) escolhemos a0=0 e a1=1, obtendo apenas termos de índice 2m+1:
a2m+1=(-1)^m,(alpha-1)(alpha-3)cdots(alpha-2m+1);(alpha+2)(alpha+4)cdots(alpha+2m)(2m+1)!

Passo 4

Mostramos que essas séries convergem para |x|<1 (raio de convergência igual a 1 pela fórmula de recorrência) e que, por construção, satisfazem a equação de Legendre em cada potência de x.

Passo 5

Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)(x)=y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)
Em x=0 temos y1(0)=1, y1'(0)=0, y2(0)=0, y2'(0)=1, logo
W(y1,y2)(0)=1cdot1-0cdot0=1neq0
Como o Wronskiano não é identicamente nulo, y1 e y2 são linearmente independentes em (-1,1).

Resposta

As séries apresentadas definem duas soluções linearmente independentes da equação de Legendre de ordem alpha no intervalo (-1,1).

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