Dado
, a equação diferencial
é chamada Equação de Legendre de ordem
. Mostre que as funçães
são soluçÔes linearmente independentes da equação de Legendre no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de Legendre de ordem
,
admite duas soluções em séries de potências em
, uma par e outra ímpar, dadas por
e
. Vamos usar o método da série de potências para encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes e, a partir daí, construir cada solução.
Passo 2
Assumimos
então
Substituindo na equação de Legendre e igualando coeficientes de
a zero, obtemos a relação de recorrência
ou seja
Passo 3
Para construir a solução par (
) tomamos
e
. Assim, apenas os termos de índice
são não nulos e satisfazem
Para a solução ímpar (
) escolhemos
e
, obtendo apenas termos de índice
:
Passo 4
Mostramos que essas séries convergem para
(raio de convergência igual a 1 pela fórmula de recorrência) e que, por construção, satisfazem a equação de Legendre em cada potência de
.
Passo 5
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano:
Em
temos
,
,
,
, logo
Como o Wronskiano não é identicamente nulo,
e
são linearmente independentes em
.
Resposta
As séries apresentadas definem duas soluções linearmente independentes da equação de Legendre de ordem
no intervalo
.